第7章 函數(shù)的凸性·曲線的曲率

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1、第7章函數(shù)的凸性·曲線的曲率圖1xyO內(nèi)容摘要①凸函數(shù)函數(shù)的“凸性”概念最初來(lái)自曲線的彎曲方向。例如，曲線(圖1)在軸左邊是向下彎曲的(稱為上凸)，而在軸右邊是向上彎曲的(稱為下凸)。雖然說(shuō)“彎曲方向”或“凸性”這些名稱是幾何上的術(shù)語(yǔ)，但經(jīng)過(guò)抽象后的凸函數(shù)理論在其它數(shù)學(xué)分支中也是很有用的。從圖2中看出，向上彎曲(下凸)的曲線上任何兩點(diǎn)的連線(弦)的中點(diǎn)在弧的上方；而從圖3中看出，向下彎曲(上凸)的曲線上任何兩點(diǎn)的連線(弦)的中點(diǎn)在弧的下方。圖2ABCDxyOx1(x1+x2)/2x2yABCD圖3Ox1(x1+x2)/2x2x根據(jù)上面幾何上的啟示，我們引入下面的定

2、義：稱連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為下凸(上凸)函數(shù)，假若對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)和，都有(※)【注1】在國(guó)內(nèi)早期的一些教科書(shū)(包括翻譯前蘇聯(lián)的一些教科書(shū))中，都把下凸函數(shù)稱為“凹函數(shù)”，而把上凸函數(shù)稱為“凸函數(shù)”。這里的稱呼與新近一些教科書(shū)或論文中的稱呼是一致的。請(qǐng)讀者注意到這些區(qū)別?！咀?】還請(qǐng)讀者注意，通常說(shuō)“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是下(上)凸函數(shù)”，若對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)和與任意，都滿足琴生(Jesen)不等式它等價(jià)于不等式（其中和為正數(shù)且）顯然，不等式(※)是琴生不等式的特殊情形。不過(guò)，對(duì)于連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，不等式(※)與琴生不等式是等價(jià)的。因此，我們就用簡(jiǎn)單的不等式(※)定義函數(shù)的凸性。關(guān)于連

3、續(xù)函數(shù)情形下兩者等價(jià)性的證明，有興趣的讀者可去看本網(wǎng)站上的專題選講?！咀?】若函數(shù)在區(qū)間115內(nèi)可微分，則從下圖4看出，下凸(上凸)函數(shù)的圖形上，每一點(diǎn)處的切線都在圖形的下面(上面)，而且導(dǎo)函數(shù)(切線的斜率)是增大(減小)的。我們也可以證明這個(gè)結(jié)論(見(jiàn)專題選講)。圖4①下凸切線②上凸切線定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)。若導(dǎo)數(shù)在內(nèi)是增大(減小)的，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是下凸(上凸)的。(逆命題也成立。專題選講中有證明)。假若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，那么根據(jù)上述定理和判別函數(shù)單調(diào)性的方法，就有下面判別函數(shù)凸性的方法。判別法設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)⑴若，則在區(qū)間內(nèi)是下凸函數(shù)[因?yàn)閷?dǎo)

4、數(shù)是增函數(shù)]；⑵若，則在區(qū)間內(nèi)是上凸函數(shù)[因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是減函數(shù)]。②拐點(diǎn)(變曲點(diǎn))函數(shù)圖形可能在這一段上是上凸的，而在相鄰的另一段上又是下凸的(如圖1中原點(diǎn)的兩邊)。這樣兩段弧的連接點(diǎn)，就稱為函數(shù)圖形(曲線)的拐點(diǎn)(曲線拐彎的點(diǎn))或變曲點(diǎn)(曲線改變彎曲方向的點(diǎn))。同時(shí)，也把函數(shù)圖形拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的拐點(diǎn)或變曲點(diǎn)。請(qǐng)讀者注意到函數(shù)的拐點(diǎn)與函數(shù)圖形(曲線)的拐點(diǎn)之間的區(qū)別!若點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn)且有二階導(dǎo)數(shù)，則這是因?yàn)椋绾瘮?shù)在點(diǎn)的左邊近旁下凸時(shí)，由于(見(jiàn)注3)，所以(極限運(yùn)算單調(diào)性)且函數(shù)在點(diǎn)的右邊上凸時(shí)，由于，所以(極限運(yùn)算單調(diào)性)圖5Oxy因此.同理，若函數(shù)在點(diǎn)

5、的左邊上凸且在點(diǎn)的右邊下凸時(shí)，也有.但是要注意，僅有時(shí)，點(diǎn)不一定是函數(shù)的拐點(diǎn)。例如函數(shù)，盡管有，但不是函數(shù)的拐點(diǎn)，因?yàn)榧春瘮?shù)在原點(diǎn)的兩邊都是下凸的(圖5)。115特別，假若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)的兩邊有相反的符號(hào),則就是函數(shù)的拐點(diǎn)。此時(shí)，當(dāng)然有③勾畫(huà)函數(shù)圖形的方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中，畫(huà)函數(shù)圖形用的是描點(diǎn)法。它的缺點(diǎn)是不能從整體上把握函數(shù)變化的狀態(tài)。微積分中講的繪圖方法稱為解析法，而它的優(yōu)點(diǎn)正好彌補(bǔ)了描點(diǎn)法的缺陷。我們利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)信息所畫(huà)出的略圖，使我們能夠看出函數(shù)的變化狀態(tài)。例如在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)，它是增大的或減小的，是下凸的或上凸的；又在哪個(gè)點(diǎn)上取到極大值或極小值

6、。因此，把描點(diǎn)法和解析法結(jié)合起來(lái)就是最好的繪圖方法。xy圖6O④函數(shù)圖形的漸近線不管是描點(diǎn)法，還是解析法，都只能畫(huà)出函數(shù)圖形的有限部分。對(duì)于那些能夠伸向無(wú)窮遠(yuǎn)處的函數(shù)圖形，當(dāng)函數(shù)圖形伸向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，它有可能無(wú)限接近某一直線(稱它為漸近線)。例如，函數(shù)的圖形有兩條漸近線(圖6)。因?yàn)樗鼈兣c軸平行，所以稱它們?yōu)樗綕u近線。求水平漸近線的方法很簡(jiǎn)單。若存在有窮極限或則曲線就有水平漸近線函數(shù)圖形也可能有垂直漸近線。例如函數(shù)的圖形(圖7)有兩條垂直漸近線.求垂直漸近線的方法也很簡(jiǎn)單。若函數(shù)有無(wú)窮間斷點(diǎn)，即(左極限)或(右極限)圖7yxO則曲線就有垂直漸近線.可見(jiàn)，當(dāng)函數(shù)有無(wú)窮

7、間斷點(diǎn)時(shí)，它才有垂直漸近線。圖8AOθdNθPxy函數(shù)圖形還可能有斜漸近線。如圖8，設(shè)曲線上點(diǎn)到直線的距離為.在直角三角形中，115按定義，直線是曲線的漸近線，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)沿曲線伸向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，有；而，當(dāng)且僅當(dāng)有常數(shù)和，使或于是，當(dāng)條件滿足時(shí)，可以按下面的方法求常數(shù)和：第一步，先求斜率因?yàn)榍宜裕坏诙?，再求截距，即⑤曲線的曲率（理工科專業(yè)學(xué)生用，經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生不用）BA圖9CD曲線的下凸和上凸說(shuō)的是曲線的彎曲方向，而曲線的曲率說(shuō)的是曲線的彎曲程度。直線段沒(méi)有彎曲，所以認(rèn)為它的曲率為.一般情形下，如圖9，弧的全曲率規(guī)定為起點(diǎn)A處切線方向與終點(diǎn)B處切線方向的偏差.可是，

8、弧的全曲率