求通項公式專題

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1、通項公式求解方法大全:我現(xiàn)在總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。一、觀察法已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項。例1.已知數(shù)列試寫出其一個通項公式：__________（答：）例2、(1)觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，每一項都是一個分式，分母是數(shù)列2，4，8，16，32，…，可用項數(shù)表示為分子是數(shù)列1，3，7，15，31，…，每一項比對應(yīng)的分母少1，可用項數(shù)表示為所以，所求的數(shù)列的通項公式是(2)這個數(shù)列即：其結(jié)構(gòu)特征是：

2、①分母與項數(shù)相同；②分子是2加上或減去l，即③各項的符號為負(fù)、正相間，即為所以，所求的通項公式是(3)觀察數(shù)列的項，這個數(shù)列可以按分母、分子由小到大重新排列為：分母、分子各自成等差數(shù)列，顯然，其通項公式為(4)每一項都是項數(shù)的平方加上1，其通項公式為(5)通項公式是(6)仔細(xì)觀察各項，不難發(fā)現(xiàn)其項與項之間有如下規(guī)律：二、遞推公式法類型1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知滿足，而且，求通項。解∵是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴例2.已知中，，求通項。解由已知可得，

3、令，代入后個等式迭加，即。例3.在數(shù)列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通項公式。解：∵這n-1個等式累加得：=故且也滿足該式∴().類型2解法：形如(n=2、3、4……)，且可求，則用累乘法求。例1、已知滿足，而，求通項。解是常數(shù)，是以2為首項，公比為的等比數(shù)列。例2、在數(shù)列{}中，=1，，求。解：由已知得，分別取n=1、2、3……(n-1),代入該式得n-1個等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以時，故且=1也適用該式∴().例3、在數(shù)列中，，求通項公式。解法

4、一：解法二：由類型3（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例1、數(shù)列中，，對于有，求通項。解法1由已知遞推式得兩式相減得因此數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，其首項為解法2上法得是公比為3的等比數(shù)列，于是有把個等式相加得。解法3設(shè)遞推式化為整理比較得，即于是得所以是公比為3的等比數(shù)列，其首項為，即。解法4評注解法1、2、3稱為構(gòu)造法，但法1與法3構(gòu)造出的等比數(shù)列不同，各有千秋；解法4稱為迭代法，對很多遞推式求通項公式都適用，應(yīng)認(rèn)真理解掌

5、握。類型4（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例1、已知中，，求通項解在兩邊同乘以得，令則類型5遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，

6、B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。方法：變形為，即，若有解，解得，于是數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，即轉(zhuǎn)化為前面的類型，從而達(dá)到求解的目的。例1、已知數(shù)列中，，求解：由，故化為所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項是所以，所以類型6．遞推式為。例1、在數(shù)列中，表示其前項的和，且，求通項。解當(dāng)時，。當(dāng)時，，又，故類型7遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解。例1、在數(shù)列中，表示其前項的和，且，求通項。解由…①…②兩式相減得即所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)

7、列，故得。類型8解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例1數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.類型9解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例1、在數(shù)列中，，求通項公式。解由題意知數(shù)列中的各項均為正數(shù)，即，對等式取以3為底的對數(shù)，得，則有，進(jìn)而可知數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。類型

8、10解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例1、在數(shù)列中，當(dāng)時，求通項。解由，所以是以為首項，以為公差的等差數(shù)列。所以，即。評注：在遞推關(guān)系，若，對其取倒數(shù)后得到等差數(shù)列；若，取其倒數(shù)后得到一個新的遞推式，其解法于后。例2、已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)n≥2時，，求通項公式。解將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即.類型11解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時,則是等差