用多項式逼近連續(xù)函數(shù)

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1、教案用多項式逼近連續(xù)函數(shù)教學(xué)內(nèi)容介紹前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Korovkin關(guān)于用多項式逼近連續(xù)函數(shù)的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一種證明。指導(dǎo)思想用多項式逼近連續(xù)函數(shù)，是經(jīng)典分析學(xué)中重要的結(jié)果，以往教材中介紹的證明都比較艱深，學(xué)生難以理解。我們發(fā)現(xiàn)了前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Korovkin的一種證明，思想新穎，方法簡單，且通過對多項式逼近連續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生進一步理解一致收斂的概念。教學(xué)安排先給出多項式一致逼近連續(xù)函數(shù)的定義：定義10.5.1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有定義，如果存在多項式序列｛Pn(x)｝在[a,b]上一致收斂于f(x)，則稱f(x)在這閉區(qū)間上可以用多項式一致

2、逼近。應(yīng)用分析語言，“f(x)在[a,b]上可以用多項式一致逼近”可等價表述為：對任意給定的ε＞0，存在多項式P(x)，使得｜P(x)-f(x)｜＜ε對一切x∈[a,b]成立。這一定理的證法很多，我們則介紹前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Korovkin在1953年給出的證明。定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理)設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則對任意給定的ε＞0，存在多項式P(x)，使｜P(x)-f(x)｜＜ε對一切x∈[a,b]成立。證不失一般性，我們設(shè)[a,b]為[0,1]。設(shè)X是[0,1]上連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的集合，Y是多項式全體構(gòu)成的集合，現(xiàn)定義映射Bn:XYf(t)Bn

3、(f,x)=，這里Bn(f,x)表示f∈X在映射Bn作用下的像，它是以x為變量的n次多項式，稱為Bernstein多項式。關(guān)于映射Bn，直接從定義出發(fā)，可證明它具有下述基本性質(zhì)與基本關(guān)系式：(1)Bn是線性映射，即對于任意f,g∈X及α,β∈R，成立Bn(αf+βg,x)=αBn(f,x)+βBn(g,x)；(2)Bn具有單調(diào)性，即對于任意f,g∈X，若f(t)≥g(t)（t∈[a,b]）3成立，則Bn(f,x)≥Bn(g,x)對一切x∈[a,b]成立；(3)Bn(1,x)==[x+(1-x)]n=1；Bn(t,x)==x=x[x+(1-x)]n-1=x；Bn(t2,x)===+=+=+

4、=+。綜合上述三式，考慮函數(shù)(t-s)2在Bn映射下的像，注意s在這里被視為常數(shù)，我們得到Bn((t-s)2,x)=Bn(t2,x)-2sBn(t,x)+s2Bn(1,x)=x2+-2sx+s2=+(x-s)2?，F(xiàn)在我們來證明定理。由于函數(shù)f在[0,1]連續(xù)，所以必定有界，即存在M＞0，對于一切t∈[0,1]，成立｜f(t)｜≤M；而根據(jù)Cantor定理，f在[0,1]一致連續(xù)，于是對任意給定的ε＞0，存在δ＞0，對一切t,s∈[0,1]，當(dāng)｜t-s｜＜δ時，成立｜f(t)-f(s)｜＜;當(dāng)｜t-s｜≥δ時，成立｜f(t)-f(s)｜≤2M≤(t-s)2。也就是說，對一切t,s∈[0,1

5、],成立--(t-s)2≤f(t)-f(s)≤+(t-s)2?？紤]上式的左端，中間，右端三式(關(guān)于t的連續(xù)函數(shù))在映射Bn作用下的像(關(guān)于x的多項式)，注意f(s)在這里被視為常數(shù)，即Bn(f(s),x)=f(s)，并根據(jù)上面性質(zhì)(1)，(2)與(3)，得到對一切x,s∈[0,1]，成立--[+(x-s)2]≤Bn(f,x)-f(s)≤+[+(x-s)2]，令s=x，且注意x(1-x)≤,即得3≤+。取N=[]，當(dāng)n＞N時,＜ε對一切x∈[0,1]成立。證畢定理10.5.1還可以表述為：設(shè)f在[a,b]連續(xù)，則它的Bernstein多項式序列｛Bn(f,x)｝在[a,b]上一致收斂于f。

6、注意點（1）學(xué)生容易誤認(rèn)為：只要將f(x)在[a,b]上展開成冪級數(shù)f(x)=,x∈[a,b]，然后令其部分和函數(shù)（多項式）Sn(x)=，則f(x)在[a,b]上就可以由多項式序列｛Sn(x)｝一致逼近了。事實上，對任意正整數(shù)n，n次多項式Sn(x)只能是在n-1次多項式Sn-1(x)的基礎(chǔ)上增加一項an(x-x0)n，而不能更改Sn-1(x)的任何一項。但是這么做需要函數(shù)具有很好的分析性質(zhì)，因為一個函數(shù)能展開成冪級數(shù)的必要條件之一是它任意次可導(dǎo)，而對僅要求“一個函數(shù)可以用多項式一致逼近”來說，這個條件實在是過分強了。究其原因，冪級數(shù)的部分和函數(shù)序列只是多項式序列的一種特殊情況。如果不是

7、用冪級數(shù)，而是用一般的多項式序列來逼近，則對函數(shù)的要求就可以弱得多。事實上，Weierstrass首先證明了：閉區(qū)間[a,b]上任意連續(xù)函數(shù)f(x)都可以用多項式一致逼近。（2）定理證明有許多方法，例如還有Bernstein給出的證明等。可以介紹同學(xué)自己去閱讀相關(guān)的資料，對多項式逼近連續(xù)函數(shù)的不同證明進行比較，擴大知識面，提高學(xué)習(xí)能力。3