2011年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題及答案(全)

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1、湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組yzhgsb②126.com2011年同濟(jì)大學(xué)等九校(卓越聯(lián)盟)自主招生數(shù)學(xué)試題分值:分時(shí)量:分鐘一、選擇題,1.已知向量為非零向量,則夾角為()A.B.C.D.2.已知?jiǎng)t()A.B.C.D.3.在正方體中,為棱的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且,則異面直線與所成角的正弦值為()A.B.C.D.4.為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則的最大值為()A.B.C.D.5.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,且的重心為拋物線的焦點(diǎn),若邊所在的直線方程為,則拋物線方程為()A..B.C.D.6.在三棱柱中,底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均不等于2,且為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為()

2、A.B.C.D.7.若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍為()A.B.C.D.8湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組yzhgsb②126.com8.如圖,內(nèi)接于,過(guò)中點(diǎn)作平行于的直線交于,交于,交在點(diǎn)處的切線于,若,則的長(zhǎng)為()OABCDEFGPl第8題圖A.B.C.D.9.數(shù)列共有11項(xiàng),且滿(mǎn)足這種條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A.100B.120C.140D.16010.設(shè)是坐標(biāo)平面按順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)做角度為的旋轉(zhuǎn),表示坐標(biāo)平面關(guān)于軸的鏡面反射.用表示變換的復(fù)合,先做,再做.用表示連續(xù)次的變換,則是()A.B.C.D.二、解答題11.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足.(1)設(shè),證明:若,則是等比數(shù)列;(2)若

3、求的值;12.在中,是角的平分線,且.(1)求的取值范圍;(2)若,問(wèn)為何值時(shí),最短?13.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,且橢圓與直線相切.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)作兩條互相垂直的直線,與橢圓分別交于及,求四邊形面積的最大值與最小值.8湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組yzhgsb②126.com14.一袋中有個(gè)白球和個(gè)黑球.從中任取一球,如果取出白球,則把它放回袋中;如果取出黑球,則該黑球不再放回,另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中.在重復(fù)次這樣的操作后,記袋中白球的個(gè)數(shù)為.(1)求;(2)設(shè),求(3)證明:15.設(shè).(1)求;(2)設(shè)求常數(shù),使得取得最小值;(3)記(2)中的最小值為,證明.8湖南省岳陽(yáng)縣第

4、一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組yzhgsb②126.com參考答案:一.選擇題二.解答題11.【解】(1)證:由,得令則,所以是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列;(2)由(1)可知,所以由累加法得即也所以有時(shí),也適合該式;所以也所以由于所以解得.ABCDE12.【解】(1)過(guò)作直線,交延長(zhǎng)線于,如圖右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因?yàn)樵谥?有8湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組yzhgsb②126.com記,則當(dāng)時(shí),此時(shí)取最小值,此時(shí).故當(dāng)時(shí),取最小值.13.【解】設(shè)橢圓方程為,因?yàn)樗c直線只有一個(gè)公共點(diǎn),所以方程組只有一解,整理得.所以得.又因?yàn)榻裹c(diǎn)為,所以聯(lián)立上式解得所以橢圓方程為.(2

5、)若斜率不存在(或?yàn)?)時(shí),則.若斜率存在時(shí),設(shè)為,則為.所以直線方程為.設(shè)與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)為聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得.則所以同理可得所以8湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組yzhgsb②126.com因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以,也所以所以綜上所述,的面積的最小值為,最大值為2.14.【解】(1)時(shí),袋中的白球的個(gè)數(shù)可能為個(gè)(即取出的是白球),概率為;也可能為個(gè)(即取出的是黑球),概率為,故.(2)首先,時(shí),第次取出來(lái)有個(gè)白球的可能性有兩種;第次袋中有個(gè)白球,顯然每次取出球后,球的總數(shù)保持不變,即個(gè)白球(故此時(shí)黑球有個(gè)),第次取出來(lái)的也是白球,這種情況發(fā)生的概率為第次袋中有個(gè)白球,第次取出來(lái)的是黑球,由

6、于每次球的總數(shù)為個(gè),故此時(shí)黑球的個(gè)數(shù)為.這種情況發(fā)生的概率為.故(3)第次白球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類(lèi):第次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望,即.由于白球和黑球的總個(gè)數(shù)為,第次取出來(lái)的是白球,這種情況發(fā)生的概率是;第次取出來(lái)的是黑球,這種情況發(fā)生的概率是,此時(shí)白球的個(gè)數(shù)是故15.(1);(2)若則顯然,當(dāng)取最小;若則當(dāng)取最小.8湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組yzhgsb②126.com故由(1)知所以,記則令,得即時(shí),取最小值.(3)將代入式右邊,等價(jià)于由于時(shí),所以下面只須證明即可.又令,則,注意到函數(shù)是單調(diào)遞增的,且所以.得證.天津大學(xué)等九所高校“卓越聯(lián)盟”自主招生學(xué)業(yè)水平測(cè)試試卷分析對(duì)于數(shù)理知識(shí)測(cè)試

7、中數(shù)學(xué)部分，專(zhuān)家評(píng)論道：數(shù)學(xué)考題考察的是高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本概念和基本技能，但只是考察的側(cè)重點(diǎn)與高考不同，試題重點(diǎn)考察了學(xué)生的空間想象能力，要求學(xué)生能將“數(shù)”與“形”相結(jié)合來(lái)分析和解決問(wèn)題。該份試卷從工科院校的特點(diǎn)出發(fā)，考察了學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)求解幾何與分析方面的（最大值或最小值）優(yōu)化問(wèn)題,能夠延伸性地考察學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。對(duì)于數(shù)理知識(shí)測(cè)試中物理部分,專(zhuān)8湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)組yzhgsb②126.com家評(píng)論道