基于細(xì)胞稀疏存貯方案的有限元?jiǎng)偠染仃嚱M裝

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1、http://www.paper.edu.cn1基于細(xì)胞稀疏存貯方案的有限元?jiǎng)偠染仃嚱M裝11陳璞，陳斌1北京大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系，北京(100871)E-mail：chenpu@pku.edu.cn摘要：在現(xiàn)代有限元分析的直接解法和迭代解法中都需要組裝剛度矩陣。本文在[1,2]的基礎(chǔ)上，敘述了兩種基于細(xì)胞稀疏存貯方案有限元的符號(hào)剛度矩陣的組裝方法。在與傳統(tǒng)的方法進(jìn)行了比較的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)效率的方法。關(guān)鍵詞：有限元分析稀疏矩陣高性能計(jì)算中圖分類號(hào)：O241.821．引言近年來，稀疏解法逐漸替代了帶寬解法與變帶寬解法，成為了有限元分析中首選的直接[1,2,3

2、]解法。不同于帶寬解法或變帶寬解存貯方案，稀疏解法要求建立符號(hào)矩陣(symbolicmatrix)，它是總體剛度矩陣對(duì)應(yīng)的Bool值矩陣。剛度矩陣中的非零元在Bool值矩陣為1，其余則為0。在用圖討論矩陣運(yùn)算時(shí)符號(hào)矩陣又稱為鄰接圖(adjacentgraph)。在稀疏解法中符號(hào)矩陣涉及幾乎所有的步驟，如：符號(hào)組裝；填充元優(yōu)化；符號(hào)分解；（數(shù)值）剛度矩陣的組裝；數(shù)值分解；消元與回帶等。因此，減小符號(hào)矩陣的大小在稀疏解法中具有十分重要的意義。[5]傳統(tǒng)的稀疏符號(hào)矩陣的組裝方法直接采用了基于方程的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，符號(hào)矩陣占用的內(nèi)存為數(shù)值剛度矩陣占用內(nèi)存的1/2（4字節(jié)整

3、數(shù)，8字節(jié)實(shí)數(shù)）。對(duì)于給定的單元類型，符號(hào)矩陣的大小一般正比于節(jié)點(diǎn)數(shù)。如果分析的問題不太大，符號(hào)矩陣可以整個(gè)在內(nèi)存中處理。但模型較大時(shí)有限元的符號(hào)矩陣的可能超出內(nèi)存允許的范圍。于是就出現(xiàn)了各種符號(hào)矩陣的壓縮存貯方法，其中最著名的是文獻(xiàn)[6]的方法。在工程有限元分析中，因?yàn)榍蠼馕灰葡蛄繄龅男枰傮w剛度矩陣是由一系列小的子矩陣組成。利用這一性質(zhì)，文[1,2]給出了一個(gè)稱為[6]細(xì)胞稀疏存貯方案的符號(hào)矩陣壓縮方法，其壓縮比大于Sherman的方法。本文從兩個(gè)方面改進(jìn)符號(hào)矩陣的組裝方法：1）利用文[1,2]的超方程和細(xì)胞符號(hào)矩陣概念直接組裝細(xì)胞符號(hào)矩陣。在工程有限

4、元分析中，它的大小僅是傳統(tǒng)符號(hào)矩陣的1/36到1/9；2）給出了兩種不同的組裝方案。它們分別適用于不同的內(nèi)存數(shù)據(jù)安排。數(shù)值試驗(yàn)表明，本文提出的方法可以在僅有28M內(nèi)存的情形下在內(nèi)存快速地組裝100萬階3維8節(jié)點(diǎn)實(shí)體有限元方程組的符號(hào)矩陣。2．稀疏矩陣的存貯方案為了更清楚地討論問題，取一個(gè)6階的總體剛度矩陣如下:1高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20030001112)-1-http://www.paper.edu.cn?11abc??(11)(ab)()c?????22d(22)()d?????33ef????33ef???A=??=??????(1

5、)?44g????44?g???SYM55h??SYM(55)()h???????66????(66)??其中a，b，…，h是非零實(shí)數(shù)。由于對(duì)稱性，有限元?jiǎng)偠染仃嚥捎昧松先切写尜A方法（或等價(jià)地，下三角列存貯方法）。為了有效地對(duì)行實(shí)施運(yùn)算，在有限元分析的計(jì)算中矩陣A較常用的稀疏存貯方案是緊湊行向量的順序組合表示法（又稱為帶輔助行向量的二元組表示法）。這種表示法需要3個(gè)數(shù)組IA(1:neq)，JA(1:nzr)和PA(1:nzr)來表示矩陣A的上三[4,5]角部分，其中neq和nzr分別是線性方程組的階數(shù)和是非零元的個(gè)數(shù)。以4字節(jié)整數(shù)和8字節(jié)實(shí)數(shù)計(jì)，這種存貯方

6、案占用的內(nèi)存為(neq+nzr)*4+nzr*8字節(jié)。表1緊湊行向量的順序組合表示法方程號(hào)123456IA469111314JA13462534545566PA11abc22d33ef44g55h66數(shù)組IA(1:neq=6)是行索引，它記錄了每一緊湊行向量在非零元的列指標(biāo)數(shù)組JA(1:nzr=14)以及它的數(shù)值數(shù)組PA(1:nzr=14)中的末地址。第k行的非零元個(gè)數(shù)為IA(k)-IA(k-1)（假設(shè)IA(0)=0）。文[1,2]提出了一種細(xì)胞存貯方案。它的想法是將剛度矩陣中具有相同的非零元位置的行（列）所對(duì)應(yīng)的方程定義為超方程，與超方程劃分相應(yīng)的子矩陣為

7、細(xì)胞。式(1)中A的第2個(gè)表達(dá)式就是按細(xì)胞方式寫的。顯然，符號(hào)矩陣可以在細(xì)胞意義表達(dá)，在給定超方程劃分的意義下，它與原始的表達(dá)是完全等價(jià)的。在這一表示法之下，有限元的總體剛度矩陣被視作超行向量的順序組合。根據(jù)超方程的定義，式(1)中有5個(gè)超方程。記mneq為超方程數(shù)，在超行緊湊方式下，式(1)中的第2個(gè)矩陣可以用5個(gè)數(shù)組來描述。表2緊湊行向量的細(xì)胞稀疏存貯方案超方程12345SUPER12456ISA357910JSA1352434566LSA46111314?33e??f?PSA11()abc22d????????55h66?44??g?數(shù)組SUPER(1

8、:mneq=5)是超方程編號(hào)到原方程編號(hào)的映射。數(shù)組