流體力學(xué)ns方程推導(dǎo)過程

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1、流體力學(xué)NS方程簡易推導(dǎo)過程小菜鳥0引言流體力學(xué)的NS方程對于整個流體力學(xué)以及空氣動力學(xué)等領(lǐng)域的作用非常顯著，不過其公式繁瑣，推導(dǎo)思路不容易理順，最近重新整理了一下NS方程的推導(dǎo)，記錄一下整個推導(dǎo)過程，供自己學(xué)習(xí)，也可以供大家交流和學(xué)習(xí)。1基本假設(shè)空氣是由大量分子組成，分子做著無規(guī)則熱運(yùn)動，我們可以想象，隨著觀察尺度的逐漸降低，微觀情況下流體的速度密度和溫度等物理量不可能與宏觀情況相同，其物理量存在間斷的現(xiàn)象，例如我們在空間中取出一塊控制體，當(dāng)控制體中存在分子時，該控制體的密度等量較大，不存在時就會為0，這在微觀尺度下是常見。不過隨著觀察尺

2、度增加，在宏觀情況下，控制體積內(nèi)包含大量分子，控制體積的壓力密度溫度速度等物理量存在統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果，這個結(jié)果是穩(wěn)定的，例如流場變量的壓力密度和溫度滿足理想氣體狀態(tài)方程。自然界中宏觀情況的流體運(yùn)動畢竟占據(jù)大多數(shù)，NS方程限定了自己的適用條件為宏觀運(yùn)動，采用稍微專業(yè)一點(diǎn)難度術(shù)語是流體滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的意思就是說，我們在流場中隨意取出流體微團(tuán)，這個流體微團(tuán)在宏觀上是無窮小的，因此整個流場的物理量可以進(jìn)行數(shù)學(xué)上的極限微分積分等運(yùn)算；同時，這個流體微團(tuán)在微觀上是無窮大的，微團(tuán)中包含了大量分子，以至于可以進(jìn)行分子層面的統(tǒng)計(jì)平均，獲得我們通常

3、見到的流場變量。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立需要滿足：所研究流體問題的最小空間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分子平均運(yùn)動自由程（標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的平均分子自由程在十分之一微米的量級，具體值可以參考分子運(yùn)動理論），這在大多數(shù)宏觀情況下都是成立的，也是NS方程能夠廣泛采用的基礎(chǔ)，即使在湍流中，也是成立的，因此才保證NS方程也適用于描述湍流。有些情況下連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不成立，存在哪些情況？第一種是空間尺度特別小，例如熱線風(fēng)速儀的金屬絲，直徑通常在1~5微米量級，最小流體微團(tuán)已經(jīng)接近分子平均運(yùn)動自由程，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不能直接使用，類似情況還包括激波，激波面受到壓縮，其尺度也較小，為幾個

4、分子平均自由程量級，不過采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)進(jìn)行激波內(nèi)流場計(jì)算時，計(jì)算結(jié)果仍然可以得到比較合理，并且與實(shí)際情況相符，這也給激波問題的研究和解決帶來了基礎(chǔ)性的保證；第二種是分子平均運(yùn)動自由程特別大，分子平均運(yùn)動自由程是指兩個分子之間碰撞距離的平均值，這個結(jié)果與分子有效直徑，分子運(yùn)動速度等相關(guān)，宏觀上來講，溫度越高、壓力越大，分子平均運(yùn)動自由程越大，而在高空情況下，壓力非常低，自由程可能很大，并且大到與飛行器尺度相近，于是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效，此時必須考慮稀薄氣體效應(yīng)。在層流邊界層情況下，分子平均運(yùn)動自由程與邊界層之間存在近似關(guān)系：從這個關(guān)系中，可以發(fā)

5、現(xiàn)，當(dāng)馬赫數(shù)非常大但是同時雷諾數(shù)非常小的時候，流場微小尺度才可能達(dá)到分子平均運(yùn)動自由程lmd的程度。可以想象一下，在大多數(shù)我們能觀察到的情況下，上述公式的結(jié)果都是非常小的，滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，這個公式不成立的情況在大氣層外邊緣，此時大氣分子之間平均動量交換降低，導(dǎo)致粘性變得非常小，雷諾數(shù)很高，因此公式計(jì)算結(jié)果急劇降低，導(dǎo)致連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效。前面討論了連續(xù)介質(zhì)建設(shè)成立的條件以及不成立的例子，下面討論的都是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)范圍內(nèi)的結(jié)果。2連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律的流體表達(dá)根據(jù)質(zhì)量守恒定律，我們知道，在流場取的控制體滿足如下物理規(guī)律：控制體的總質(zhì)量不隨

6、著運(yùn)動而變化的，在運(yùn)動過程中控制體始終由相同流體微團(tuán)組成，因此利用流場物理量將物理規(guī)律用數(shù)學(xué)公式表達(dá)可得：根據(jù)引論1中的內(nèi)容，上式左邊隨體導(dǎo)數(shù)可以采用兩種形式的偏導(dǎo)數(shù)表示：（1）微元體表達(dá)形式：根據(jù)引論1中微元體的隨體導(dǎo)數(shù)關(guān)系可以得到：或者（2）張量表達(dá)形式：3動量方程：牛頓第二定律的流體表達(dá)根據(jù)牛頓第二定律，流場中取出控制體滿足如下規(guī)律：某一時刻，控制體中所有流體微團(tuán)的總動量隨時間的變化率=控制體中所有流體微團(tuán)受到的合力?？刂企w受力主要包括表面力和體積力，表面力作用于物體表面，例如壓力等應(yīng)力，表面力可以分解為法向力和切向力，法向力通常為壓

7、力，切向力通常為粘性力（當(dāng)然這不是絕對，因?yàn)榉ㄏ蛄€包括流場可壓縮性引起的法向應(yīng)力）；體積力作用于流場中每一個流體微團(tuán)，例如重力，電磁力等。因此，牛頓第二定律可以表達(dá)為：控制體總動量隨時間變化率=控制體表面力合力+控制體體積力合力（為了推導(dǎo)方便，下面將體積力忽略，在重力等法向力影響較大時，將該項(xiàng)加入即可）。利用流場變量可以將上述定律表達(dá)為數(shù)學(xué)公式：其中根據(jù)引論1和引論2，可知方程左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，（1）微元體表達(dá)形式：根據(jù)引論2，上式左邊具有這兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式（一種根據(jù)定義，一種引入質(zhì)量守恒關(guān)系）：（2）張量表達(dá)形式：根據(jù)引論2

8、，上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式（一種定義，一種引入質(zhì)量守恒）：（3）補(bǔ)充說明1：粘性應(yīng)力表達(dá)式上述公式中，我們將表面力表達(dá)為表面壓力+粘性力的形式，其中表面壓力為法向力，粘性力