垂徑定理—知識(shí)講解(提高)

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1、垂徑定理—知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解圓的對(duì)稱性；2．掌握垂徑定理及其推論；3．學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理及其推論解決有關(guān)的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、垂徑定理1.垂徑定理　　垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.2.推論　　平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要點(diǎn)詮釋：　(1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論，即　　　(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過(guò)圓心的直線或線段.知識(shí)點(diǎn)二、垂徑定理的拓展根據(jù)圓

2、的對(duì)稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：（1）平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.（4）圓的兩條平行弦所夾的弧相等.要點(diǎn)詮釋：在垂徑定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）【典型例題】類型一、應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)

3、算與證明　　1.如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則⊙O的半徑是．4【答案】.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，連結(jié)OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于垂徑定理的使用，一般多用于解決有關(guān)半徑、弦長(zhǎng)、弦心距之間的運(yùn)算(配合勾股定理)問(wèn)題.舉一反三：【變式1】如圖所示，⊙O兩弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半徑．【答案】如圖所示，過(guò)點(diǎn)O分別作OM⊥

4、AB于M，ON⊥CD于N，則四邊形MONH為矩形，連結(jié)OB，∴，，∴在Rt△BOM中，．【高清ID號(hào)：356965關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例2-例3】【變式2】如圖，AB為⊙O的弦，M是AB上一點(diǎn)，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半徑.4【答案】14cm.【高清ID號(hào)：356965關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例2-例3】　2.已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【思路點(diǎn)撥】在⊙O中，兩平行弦AB、CD間的

5、距離就是它們的公垂線段的長(zhǎng)度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長(zhǎng)表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.【答案與解析】(1)如圖1，當(dāng)⊙O的圓心O位于AB、CD之間時(shí)，作OM⊥AB于點(diǎn)M，并延長(zhǎng)MO，交CD于N點(diǎn).分別連結(jié)AO、CO.　　　　∵AB∥CD　　　　∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距.　　　　∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，　　　　　　　　　　　　　=8+6　　　　　=14(cm)　　　　圖1圖2(2)如圖2所示，當(dāng)⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD

6、之間(即弦AB、CD在圓心O的同側(cè))時(shí)，　　　　　同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)　　　　　∴⊙O中，平行弦AB、CD間的距離是14cm或2cm.【點(diǎn)評(píng)】解這類問(wèn)題時(shí)，要按平行線與圓心間的位置關(guān)系，分類討論，千萬(wàn)別丟解.舉一反三：【變式】在⊙O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，MN=10，AB=8，則MC=_________．【答案】2或8．類型二、垂徑定理的綜合應(yīng)用3.要測(cè)量一個(gè)鋼板上小孔的直徑，通常采用間接的測(cè)量方法．如果用一個(gè)直徑為10mm的標(biāo)準(zhǔn)鋼珠放在小孔上，測(cè)得鋼珠頂端與小孔

7、平面的距離h＝8mm(如圖所示)，求此小孔的直徑d．4【思路點(diǎn)撥】此小孔的直徑d就是⊙O中的弦AB．根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形來(lái)解決．【答案與解析】過(guò)O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足為C，則，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．在Rt△ACO中，AC＝，∴AB＝2AC＝2×4＝8mm．答：此小孔的直徑d為8mm．【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用垂徑定理解題，一般轉(zhuǎn)化為有關(guān)半徑、弦、弦心距之間的關(guān)系與勾股定理的運(yùn)算問(wèn)題.4.不過(guò)圓心的直線l交⊙O于C、D兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下

8、面三個(gè)圓中分別畫(huà)出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；(2)請(qǐng)你觀察(1)中所畫(huà)圖形，寫(xiě)出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(OA＝OB除外)(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過(guò)程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫(xiě)推理過(guò)程)；(3)請(qǐng)你選擇(1)中的一個(gè)圖形，證明(2)所得出的結(jié)論．【答案與解析】(1)如圖所示，在圖①中AB、CD延長(zhǎng)線交于⊙O外一點(diǎn)；在圖②中AB、CD交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)；在圖③中AB∥CD．4