數(shù)學(xué)演算的哲學(xué)

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1、數(shù)學(xué)演算的哲學(xué)　　【摘要】數(shù)學(xué)起源于計(jì)算。隨著計(jì)算機(jī)作為數(shù)學(xué)研究工具地位的確立，算法思想將成為今后相當(dāng)長一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的主要思想?！把菟恪狈从沉藬?shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性及其辯證關(guān)系?！　　娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)演算；計(jì)算；算法　　數(shù)學(xué)的本質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)性與演繹性在實(shí)踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一，數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)?！　∈紫?，從理論上講，數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)觀的一個(gè)重要問題，而數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)方法論是統(tǒng)一的，所以可以通過方法論來分析數(shù)學(xué)觀。數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)對(duì)象的特殊性決定了數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法的特殊性。這種特殊性表現(xiàn)在，數(shù)學(xué)研究除了像自然科學(xué)那樣僅僅采用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納的方法外，還必須采用演繹法。因此，可以通過研究數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)方法來反映數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)

2、的本質(zhì)?！　∑浯?，從事實(shí)上看，數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性表明數(shù)學(xué)是適應(yīng)社會(huì)實(shí)踐需要而產(chǎn)生的，是解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)積累。社會(huì)實(shí)踐提出的數(shù)學(xué)問題都要求給出定量的回答，而要作出定量的回答就必須進(jìn)行具體的計(jì)算，所以計(jì)算表征了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的特點(diǎn)。而對(duì)于各種具體的計(jì)算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法則），也都可以用“算”來概括、反映數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)性在方法論上的計(jì)算或算法特點(diǎn)。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性反映數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)在方法論上的演繹特點(diǎn)，所以，可以用“演”來反映數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹性。因此，我們可以用“演算”來反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)性與演繹性。4　　“演算”反映了數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)?！　?shù)學(xué)研究對(duì)象的特殊性產(chǎn)生了

3、數(shù)學(xué)研究特有的問題：計(jì)算與證明。它們成為數(shù)學(xué)研究的兩項(xiàng)主要工作。關(guān)于“證明”。數(shù)學(xué)對(duì)象的特殊性使得數(shù)學(xué)成果不能像自然科學(xué)成果那樣通過實(shí)驗(yàn)來證實(shí)，而必須通過邏輯演繹來證明，否則數(shù)學(xué)家是不予承認(rèn)的。所以，數(shù)學(xué)家如何把自己的成果表達(dá)成一系列的演繹推理（即證明）就成為重要工作。證明成為數(shù)學(xué)研究工作的重要特點(diǎn)。關(guān)于“計(jì)算”，數(shù)學(xué)本身就是起源于計(jì)算，即使數(shù)學(xué)發(fā)展到高度抽象理論的今天，也不能沒有計(jì)算。數(shù)學(xué)家在證明一個(gè)定理之前，必須經(jīng)過大量的具體計(jì)算，進(jìn)行各種試驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)，并加以分析、歸納，才能形成證明的思路和方法。只有在這時(shí)候，才能從邏輯上進(jìn)行綜合論證，表達(dá)為一系列的演繹推理過程，即證明。從應(yīng)用數(shù)學(xué)

4、來看，更是需要大量的計(jì)算，所以人們才發(fā)明各種計(jì)算機(jī)。在電子計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算的規(guī)模更大了，以致在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)。因此，計(jì)算成為數(shù)學(xué)研究的另一項(xiàng)重要工作。　　既然“計(jì)算與證明”是數(shù)學(xué)研究的兩項(xiàng)主要工作和特點(diǎn)，那么“數(shù)學(xué)是演算的科學(xué)”這一概括是否反映出這一特點(diǎn)？“證明”是從一定的前提（基本概念和公理）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則所進(jìn)行的一種演繹推理。而“演（繹）”正可以反映“證明”這一特點(diǎn)。而“算”顯然更可以直接反映“計(jì)算”或“算法”及其特點(diǎn)。由此可見，“演算”反映了數(shù)學(xué)研究的計(jì)算和證明這兩項(xiàng)基本工作及其特點(diǎn)。　　“演”與“算”的對(duì)立統(tǒng)一反映數(shù)學(xué)性質(zhì)的辯證性。　　首先，從數(shù)學(xué)發(fā)展的宏觀

5、來看。數(shù)學(xué)史告訴我們，數(shù)學(xué)起源于“算”4，即起源于物體個(gè)數(shù)、田畝面積、物體長度等的計(jì)算。要計(jì)算就要有計(jì)算方法，當(dāng)各種計(jì)算方法積累到一定數(shù)量的時(shí)候，數(shù)學(xué)家就進(jìn)行分類，概括出適用于某類問題的計(jì)算公式、法則、原理，統(tǒng)稱為算法。所以數(shù)學(xué)的童年時(shí)期叫做算術(shù)，它表現(xiàn)為一種經(jīng)驗(yàn)知識(shí)。當(dāng)歐幾里得建立數(shù)學(xué)史上第一個(gè)公理系統(tǒng)時(shí)，才出現(xiàn)“演繹法”。此后，“演”與“算”便構(gòu)成了數(shù)學(xué)發(fā)展中的一對(duì)基本矛盾，推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展。這在西方數(shù)學(xué)思想史中表現(xiàn)最為突出。大致說來，在歐幾里得以前，數(shù)學(xué)思想主要是算法；歐幾里得所處的亞歷山大里亞前期，數(shù)學(xué)主要思想已由算法轉(zhuǎn)向演繹法；從亞歷山大里亞后期到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)主要思想再次

6、由演繹法轉(zhuǎn)向算法；19世紀(jì)到20世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)主要思想又由算法轉(zhuǎn)向演繹法；電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用促進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展及其與之交叉的諸如計(jì)算流體力學(xué)、計(jì)算幾何等邊緣學(xué)科的產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的出現(xiàn)。這一切又使算法思想重新得到發(fā)展，成為與演繹法并駕齊驅(qū)的思想?？梢灶A(yù)言，隨著計(jì)算機(jī)作為數(shù)學(xué)研究工具地位的確立，算法思想將成為今后相當(dāng)長一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的主要思想。算法思想與演繹思想在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的這種更迭替代，從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)了“演”與“算”這對(duì)矛盾在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化。所以，有的數(shù)學(xué)史工作者從方法論的角度把數(shù)學(xué)的發(fā)展概括為算法傾向與演繹傾向螺旋式交替上升的過程?！　∑浯危瑥臄?shù)學(xué)研究的微觀來看?！把荨敝?/p>

7、有“算”，這充分表明了我們上面所分析的“證明”中包含著“計(jì)算”，包含著“算”向“演”轉(zhuǎn)化?！八恪敝杏小把荨保@充分表現(xiàn)在算術(shù)和代數(shù)中。算術(shù)和代數(shù)表現(xiàn)為“算”，但是，算術(shù)和代數(shù)的“算”4，并不是自由地計(jì)算，而是要遵循基本的四則運(yùn)算及其規(guī)律，即計(jì)算要按照一定的計(jì)算規(guī)則，就像證明要遵守推理規(guī)則一樣。所以“算”中包含著“演”，包含著“演”向“算”的轉(zhuǎn)化?！把荨迸c“算”的這種對(duì)立統(tǒng)一更充分地體現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算和定理證明中。這種“算”與“演”的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，從一個(gè)