二最大值與最小值問題

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1、二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束函數(shù)的極值與最大值最小值第三章一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當時,(1)則稱為的極大點,稱為函數(shù)的極大值;(2)則稱為的極小點,稱為函數(shù)的極小值.極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點.機動目錄上頁下頁返回結束注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為0或不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質.例如(P146例4)為極大點,是極大值是極小值為極小點,機動目錄上頁下頁返回結束定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內有導數(shù),(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,(自證)機動目錄上頁下頁返回結束點擊圖中任

2、意處動畫播放暫停例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求極值可疑點令得令得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為機動目錄上頁下頁返回結束定理2(極值第二判別法)二階導數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.機動目錄上頁下頁返回結束例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機動目錄上頁下頁返回結束定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當為偶數(shù)時,是極小點;是極大點.2)當為奇數(shù)時,為極值點,且不是極值點.當充分接近時,上式左端正負號由右端第一項確定,故結論正確.機動目錄上頁下頁返回結束

3、證:利用在點的泰勒公式,可得例如,例2中所以不是極值點.極值的判別法(定理1~定理3)都是充分的.說明:當這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.機動目錄上頁下頁返回結束二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內的極值可疑點(2)最大值最小值機動目錄上頁下頁返回結束特別:當在內只有一個極值可疑點時,當在上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)對應用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)機動目錄上頁下頁返回結束例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小

4、值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機動目錄上頁下頁返回結束因此也可通過例3.求函數(shù)說明:求最值點.與最值點相同,由于令(自己練習)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.機動目錄上頁下頁返回結束(k為某一常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20AC⊥AB,要在AB線上選定一點D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應如何選取?20解:設則令得又所以為唯一的極小點,故AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,機動目錄上頁下頁返回結束例5.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問矩形截面的高h和b應如何選擇才能

5、使梁的抗彎截面模量最大?解:由力學分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實際意義可知,所求最值存在,駐點只一個,故所求結果就是最好的選擇.機動目錄上頁下頁返回結束用開始移動,例6.設有質量為5kg的物體置于水平面上,受力作解:克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉化為求的最大值問題.?為多少時才可使力設摩擦系數(shù)問力與水平面夾角機動目錄上頁下頁返回結束的大小最小?令解得而因而F取最小值.解:即令則問題轉化為求的最大值問題.機動目錄上頁下頁返回結束清楚(視角?最大)?觀察者的眼睛1.8m,例7.一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義,

6、觀察者最佳站位存在,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.問觀察者在距墻多遠處看圖才最機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣(Th.3)定理3目錄上頁下頁返回結束最值點應在極值點和邊界點上找;應用題可根據(jù)問題的實際意義判別.思考與練習(L.P500題4)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.設則在點a處().的導數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導數(shù)不存在.B提示:利用極限的保號性.機動目錄上頁下頁返回結束2.設在的某鄰域內連續(xù),且則在點

7、處(A)不可導;(B)可導,且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:利用極限的保號性.機動目錄上頁下頁返回結束3.設是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內單調增加;(D)在某鄰域內單調減少.提示:A機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P1601(5),(9);2;3;5;10;14;15第六節(jié)目錄上頁下頁返回結束試問為何值時,在時取得極值,還是極小.解:由題意應