反應(yīng)擴(kuò)散捕食-食餌模型的全局漸近穩(wěn)定性分析 畢業(yè)論文

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1、反應(yīng)擴(kuò)散捕食-食餌模型的全局漸近穩(wěn)定性分析摘要：本文結(jié)合數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中的捕食模型進(jìn)行探討，主要是在經(jīng)典三種群Lotka-Volterra食物鏈模型的基礎(chǔ)上，加上時滯性因素，探討模型解的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。在分析與證明過程中主要用到一些迭代知識與比較定理等。關(guān)鍵詞：全局漸進(jìn)穩(wěn)定性；時滯性；Lotka-Volterra食物鏈模型§1.引言在人類自然科學(xué)中，生態(tài)學(xué)是非常重要的一部分。生態(tài)學(xué)的研究對地球環(huán)境以及人類的生存都至關(guān)重要。特別是近些年，人類濫砍濫伐，破壞生態(tài)的現(xiàn)象特別嚴(yán)重，怎樣更好地利用生態(tài)學(xué)知識保護(hù)自然，保護(hù)我們共同的家園，是目前我們亟需解決的問題之一。研究生

2、態(tài)學(xué)一般和其他學(xué)科相交叉，而生態(tài)學(xué)和數(shù)學(xué)交叉產(chǎn)生的數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)又是研究生態(tài)學(xué)非常重要且不可或缺的一部分。數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)在16世紀(jì)開始萌芽，但主要成果是在20世紀(jì)完成的。在數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中有一個模型非常重要，那就是捕食模型。在自然界，到處都是食物鏈的存在，研究捕食模型是研究生態(tài)學(xué)的重要組成部分。在國內(nèi)外，研究捕食模型的著作也層出不窮。在本文中，主要對模型(1.1)運(yùn)用比較原理和單調(diào)迭代方法證明平衡解的全局漸近穩(wěn)定性。這是一個三種群捕食模型，在模型中，分別表示食餌、中間捕食者、捕食者的種群密度。三個種群為捕食關(guān)系，但是，它們是單向捕食，中間捕食者捕食食餌，捕食者捕食中間捕食者，并且

3、，它們分別只捕食一種食物。在模型中，表示拉普拉斯算子，=。（i=1,2,3）分別表示三種群的擴(kuò)散系數(shù)。表示食餌的內(nèi)稟增長率，表示中間捕食者、捕食者的死亡率。由于，中間捕食者只捕食食餌，捕食者只捕食中間捕食者，所以當(dāng)食餌的密度為零時，中間捕食者會減少，中間捕食者為零時，捕食者只會減少。模型中的（i=1,2,3）分別表示三種群自身的密度制約。分別表示中間捕食者的捕食行為對食餌種群密度的影響以及捕食者的捕食行為對中間捕食者密度的影響。分別表示食餌的種群密度對中間捕食者種群增長的影響以你中間捕食者的密度對捕食者種群增長的影響。常數(shù)表示相應(yīng)的生長時滯，也即物種從出生到成年（具有

4、捕食能力）所需要的時間。模型中項(xiàng)表示中間捕食者從出生到具有捕食食餌的能力所需要的時間為;項(xiàng)表示中間捕食者只捕食成年的食餌，而食餌從出生到成年所需要的時間為；項(xiàng)表示捕食者只捕食成年的中間捕食者，從出生到成年所需要時間為.此外在模型中是外法向量.對于=0，即沒有時滯的模型的解的存在性以及漸進(jìn)性質(zhì)的研究已經(jīng)相當(dāng)廣泛，本文則主要研究具有時滯的模型（1.1）的解的存在性以及唯一性、解的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。首先，我們先探究解的存在唯一性。§2.三種群捕食模型解的存在唯一性為了求得解的存在唯一性，我們首先給出正性定理（參見[1]）。定理2.1設(shè)且滿足下面不等式組：(2.1)其中如果對于

5、成立，并且當(dāng)時，那么，.很明顯，系統(tǒng)（1.1）是（2.1）的特殊形式，所以我們可以得到下面的推論：推論2.1系統(tǒng)（1.1）的初值為非負(fù)，則它的任一解非負(fù)為了證明解的存在唯一性，我們需要用到耦合上下解的方法，所以首先我們引入以下定義：定義2.1一對非負(fù)函數(shù)成為系統(tǒng)（1.1）的耦合上解和下解，如果在上成立，并且滿足下面不等式組：(2.2)引理2.1設(shè)是模型（1.1）在上的一組上下解，則系統(tǒng)（1.1）有唯一全局非負(fù)解，并且在上成立。引理的證明參見[1]中引理2.3的證明.如果耦合的上下解在內(nèi)都成立，即與系統(tǒng)（1.1）中的無關(guān)，則我們可以令則（2.2）中的不等式組可以寫成下面

6、的形式：(2.3)根據(jù)引理2.1，我們可得出如下推論：推論2.2設(shè)是一對非負(fù)向量，其滿足和（2.3）中的不等式組，則如果在上成立，則系統(tǒng)（1.1）有唯一非負(fù)全局解，我們設(shè)全局解為，則在上.根據(jù)以上引理和推論，我們可以得出如下定理：定理2.2對于任意非負(fù)初始函數(shù)，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的全局非負(fù)解，其滿足，其中.證明我們可以設(shè)，（i=1,2,3）,則，并且不等式組（2.3）成立，所以根據(jù)推論2.2，我們得出是（1.1）的耦合上下解，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的全局非負(fù)解.§3.模型的全局漸近穩(wěn)定性我們先來介紹一些已有結(jié)果.我們研究（1.1）解的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，先對相應(yīng)的常數(shù)

7、穩(wěn)態(tài)解進(jìn)行探討。系統(tǒng)（1.1）的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解由下面系統(tǒng)求出。(3.1)系統(tǒng)（3.1.1）有平凡的非負(fù)解（0,0,0）和解（）.如果令,則由得出，系統(tǒng)有非負(fù)解：.不過由于得(3.2)當(dāng)（3.2）不成立時，，即系統(tǒng)（3.1）解為（）.當(dāng)并且條件(3.3)成立時，系統(tǒng)（3.1）有正平衡解：.其中(3.4)從生物學(xué)意義來講，在本文中我們只討論（1.1）的正平衡解的全局漸近穩(wěn)定桿性.在[1],[4]和[5]中已經(jīng)分別證明了如下結(jié)果：引理3.1設(shè)為（1.1）的唯一非負(fù)解，如果，有條件（3.3）和(3.5)成立，則當(dāng)時收斂于，也即正平衡解是全局漸近穩(wěn)定的.其中初始函