不唯上不唯書只唯真

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1、“不唯上，不唯書，只唯真”---再論“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)”的教學(xué)設(shè)計(jì)730050蘭州六十六中學(xué)曾志剛文【2】與文【1】辯之點(diǎn)，在“高斯算法”到“倒序相加法”的思維過渡。文【1】所述：學(xué)生在探究“高斯算法”的算理時(shí)興趣盎然，而由“高斯算法”過渡到“倒序相加法”時(shí)，學(xué)生都滿臉茫然，課堂教學(xué)活動(dòng)成了教師的“獨(dú)角戲”，其結(jié)果是教師硬塞給了學(xué)生一個(gè)倒序相加的方法。因此，教材的設(shè)計(jì)存在缺陷。文【2】認(rèn)為，文【1】的結(jié)論是“教教材”、“照本宣科”的結(jié)果。于是，在“高斯算法”過渡到“倒序相加法”時(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，即分類討

2、論思想和集合與對應(yīng)思想，“倒序相加法”就自然生成，從“高斯算法”到“倒序相加法”成為了教學(xué)的一個(gè)有機(jī)整體，一個(gè)可操作的有序流程。孰是孰非？來看《課程標(biāo)準(zhǔn)》對“雙基”的要求。第一要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)；第二要了解概念、結(jié)論產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，要求通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程；第三要體會其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用。因此，在教材里所呈現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)，就不再是一種現(xiàn)成的，以定論形式呈現(xiàn)的客觀對象，而應(yīng)當(dāng)是一個(gè)可以“做出來”的

3、數(shù)學(xué)，一個(gè)充滿探究與交流、猜測與論證的活動(dòng)過程。學(xué)生需要從事的和能夠做的數(shù)學(xué)活動(dòng)顯然不再只是模仿、記憶等，而包括：觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理、交流等有利于其一般發(fā)展的活動(dòng)。觀點(diǎn)1：從《課程標(biāo)準(zhǔn)》和作為數(shù)學(xué)課程理念的基本物化形式的教材上講，文【1】觀點(diǎn)難免有些偏頗。至于是否是“教教材”、“照本宣科”，不能只看課堂教學(xué)的呈現(xiàn)形式，更要了解教師的備課，而這一切又是以其教學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng)為前提。其中有兩點(diǎn)值得我們思考：一是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和技能對問題解決是至關(guān)重要的；二是由“高斯算法”到“倒序相加法”，不給學(xué)生思考的時(shí)間。

4、教學(xué)過程鋪設(shè)得暢通無阻（也可能是表面的），不想有什么地方為難學(xué)生，最好是學(xué)生一聽就懂，一學(xué)就會，而如何揭示知識的形成過程和學(xué)生思維、能力的培養(yǎng)考慮較少?，F(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)過程中缺乏學(xué)生的主動(dòng)參與，課堂上傳授的知識與方法就不能在學(xué)生的心理上得到應(yīng)有的認(rèn)同，也就談不上同化和順應(yīng)，很難在學(xué)生的頭腦中形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。以下結(jié)合4年前的一次教學(xué)實(shí)際，有針對性地談?wù)?。著名?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾指出，數(shù)學(xué)教育如果脫離了那些豐富而又復(fù)雜的背景教材，就將成為“無源之水，無本之木”。為了上好“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”（人教版，

5、全日制普通高級中學(xué)，必修，第一冊上）這堂課，筆者查找了一些材料，想從中追尋到10歲高斯的求解經(jīng)歷，無果。卻有意外收獲，對揭示“倒序相加法”有著重要作用。課堂教學(xué)（兩課時(shí)）摘錄。師：今天我們學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和,請同學(xué)們根據(jù)課題，自擬一道計(jì)算題（從中選出以下三個(gè)問題展開）。問題1計(jì)算1+2+3+…+100=？學(xué)生很快得出了正確答案。問題2計(jì)算1+2+3+…+n=？（從前100項(xiàng)和推廣到前n項(xiàng)和）問題3等差數(shù)列前n項(xiàng)和…+=？（從特殊到一般）4很久以前，就有一些數(shù)學(xué)家及愛好者潛心研究此類問題，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，采用一

6、種方法，就使問題迎刃而解。他們是誰？發(fā)現(xiàn)了什么？用了什么秘密武器？公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)，從1開始，任意多個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和構(gòu)成“三角形數(shù)”，如圖1，畢氏以一點(diǎn)代表1，二點(diǎn)代表2，等等。圖1學(xué)生對此贊嘆不已，老師不失時(shí)機(jī)：“畢氏學(xué)派會用怎樣的方法去解‘三角形數(shù)’，即問題2？‘三角形數(shù)’對你解決問題2有怎樣的啟發(fā)？”此時(shí)，學(xué)生已處于知識簡單積累后的膨發(fā)狀態(tài)，思維正處于聯(lián)系舊知，探索新知的最佳認(rèn)知時(shí)刻，偶然的一次觸動(dòng)都極有可能帶來認(rèn)知上的質(zhì)的飛躍。老師則走到學(xué)生中去傾聽、去觀察。發(fā)現(xiàn)：大部分學(xué)生在嘗試用

7、“高斯算法”，期盼能從中有所斬獲，并不為教師或教材的意志為轉(zhuǎn)移。教學(xué)中，在探究“高斯算法”到一般情況時(shí)，產(chǎn)生了兩大矛盾沖突，一是問題的抽象化與學(xué)生形象思維的矛盾：前100項(xiàng)的和與前n項(xiàng)的和；正整數(shù)數(shù)列的和與等差數(shù)列的和；一是解題方法的復(fù)雜化與學(xué)生定勢思維的矛盾：不討論與分類討論。遇到了三大問題：⑴項(xiàng)數(shù)n是多少?⑵有多少項(xiàng)？⑶是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)，值是多少？方法一：分類討論思想的運(yùn)用如果問題2、3上來就分n為偶數(shù)和奇數(shù)，并不利于學(xué)生接受。要突破教學(xué)難點(diǎn)，化解矛盾，應(yīng)從具體到抽象，在解決問題⑴、⑵、⑶的基礎(chǔ)上，逐漸

8、遞進(jìn)。(以問題2為例)n=6n=71+2+3+4+5+6=(1+6)+(2+5)+(3+4)1+2+3+4+5+6+7=(1+7)+(2+6)+(3+5)+43項(xiàng)=項(xiàng)3項(xiàng)=項(xiàng)==,中間項(xiàng)4是第項(xiàng)n是偶數(shù)n是奇數(shù)1+2+…+n=(1+n)+[2+(n-1)]+……1+2+…+n=(1+n)+[2+(n-1)]+…+?項(xiàng)=項(xiàng)?項(xiàng)=項(xiàng)==,中間項(xiàng)是第項(xiàng)方法二、倒序