《比較與類比》PPT課件

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1、第十五章比較與類比第一節(jié)比較概述與類型1、比較概述比較是人類認(rèn)識客觀事物的一種最基本的思維方法。比如，對事物集合量的最初的認(rèn)識，正是通過比較認(rèn)識到事物集合量的“多”或“少”或“同樣多”，從而形成等價集合類的概念，最終得到自然數(shù)的概念。比較還使我們發(fā)現(xiàn)某類事物不同于它類事物的共同的本質(zhì)屬性，從而形成概念，達(dá)到對事物更深刻的認(rèn)識。無論是區(qū)分事物的質(zhì)，還是區(qū)分事物的量，都要通過比較這一思維方法才能達(dá)到。區(qū)分事物的客觀基礎(chǔ)，就是事物本身所具有的同一性和相異性。因此，我們可以說，比較就是在認(rèn)識事物的過程中，確定思維對象的相同點和不同點的思維方法，它是其他思維方法如分析

2、綜合、抽象概括、歸納演繹等的基礎(chǔ)。因此，要有意識地學(xué)會比較這一思維方法，把它作為數(shù)學(xué)思維的重點之一。2、比較類型⑴相同點的比較就是要確定我們的思維對象的共同屬性。有些貌似不同的事物，也可能存在一些共同點，這些共同之處往往聯(lián)系著它們的規(guī)律。因此，通過比較尋找相異事物的共同點，可以開拓思路，探索規(guī)律，更深刻地認(rèn)識事物及其相互關(guān)系，這類比較方法可以概括為“異中見同”?！纠繉⑺膫€分?jǐn)?shù)按照由小到大的順序排列?！痉治觥窟@四個分?jǐn)?shù)互不相同，若作通分后比較，將非常麻煩。但經(jīng)觀察比較，得到一個共同特點是，分子總比分母小1。其中：分子相同的分?jǐn)?shù)僅比較分母即可，即由可得到【例】

3、用一條直線將一個長方形分為兩等分，有幾種畫法？【分析】分法是很多的，畫出幾種并不難，難在需要確定有幾種畫法。在多種畫法中，比較下面這種最特殊的一種畫法：即經(jīng)過矩形兩對角線交點——矩形的中心，所畫的直線都平分矩形；而且容易由平行截割定理證明其正確性；因此，用一條直線將一個長方形分為兩等分，有無數(shù)種畫法。而經(jīng)過矩形兩對角線交點可作無數(shù)條直線；⑵不同點的比較不同點的比較就是要確定思維對象的不同特性。有些貌似相同或十分相似的事物，實際上總是存在著某些差異，即使是相等的事物，也只是彼此不相同、不同一的事物之間的同一。通過比較尋找相同或相似事物的不同點，同樣可以開拓思路

4、，探尋規(guī)律，更深刻地理解某些概念及其相互關(guān)系。這類比較方法可以概括為“同中求異”?！纠肯旅婷拷M數(shù)中，請找出不同類的數(shù)來，并說明理由。【解】在⑴組數(shù)中，不是自然數(shù)。在⑵組數(shù)中，⑴1，4，7，，14，17，20，⑵0，1，1.5，3，6，8，16，不是整數(shù)?！纠勘容^合數(shù)與偶數(shù)的區(qū)別。【解】分別從內(nèi)涵和外延兩方面進行比較：【區(qū)別】⑴兩概念的外延是交叉關(guān)系，合數(shù)中不含負(fù)偶數(shù)、0和2，概念內(nèi)涵外延合數(shù)能被1和它自身以外數(shù)整除的自然數(shù)4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，…偶數(shù)能被2整除的整數(shù)…，-4，-2，0，2，4，6，8，10，12，…而偶數(shù)中不

5、含奇合數(shù)；⑵兩概念的內(nèi)涵是交叉關(guān)系，合數(shù)規(guī)定能被1和它自身以外數(shù)整除，而且是自然數(shù)；而偶數(shù)規(guī)定能被2整除的整數(shù)，而且是整數(shù)。上述兩例都是“同中見異”的比較。“異中見同”和“同中見異”兩類比較方法在實際運用過程中，往往是綜合進行的，并配合其他思維方法，相輔相成。3、比較方法舉例⑴運用比較，掌握數(shù)量關(guān)系【例1】小營村有耕地面積180畝，其中棉田占總耕地面積的3/5，全村棉田有多少畝?【例2】小營村有棉田面積180畝，棉田占總耕地面積的3/5，全村總耕地有多少畝?【比較】兩題的數(shù)量關(guān)系都沒變，都是全村總耕地面積×3/5=全村棉田面積不同的是已知條件與所求問題交換了

6、。⑵運用比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律【例1】比較一組等式：6÷3=2，60÷30=2，600÷300=2，6000÷3000=2，60000÷30000=2，觀察6K÷3K=2再考慮(6×0)÷(3×0)=?總結(jié)運算規(guī)律：“被除數(shù)與除數(shù)同時乘以相同的非零數(shù)值，商不變。”⑶運用比較，突出概念的內(nèi)涵和外延概念學(xué)習(xí)中適當(dāng)運用變式材料，借助比較，促進理解概念的內(nèi)涵，那么這個概念的外延也就明確了。①運用比較，辯析易混概念——恰當(dāng)組織正反對比學(xué)習(xí)中，從正面揭示概念、法則、公式等，無疑是重要的，但僅僅這樣還不夠，對一些重要概念和典型問題，應(yīng)抓住本質(zhì)進行正反對比，或從反面提出一些問題，進

7、行思索判斷，加深理解。②適時歸納已學(xué)過的相關(guān)概念數(shù)學(xué)概念體系中，有一些相似概念（如數(shù)位和位數(shù)、質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)、比和比例、求比值與化簡比、方程的解與解方程等），還有一些相近概念（如除盡與整除、數(shù)與數(shù)字、質(zhì)數(shù)與質(zhì)因數(shù)、計數(shù)與記數(shù)等），還有一些相反概念（如約數(shù)與倍數(shù)、擴大與縮小、化法與聚法、正比例與反比例等），都是容易混淆的概念，在復(fù)習(xí)階段把這些易混概念放在一起進行對比辯析，歸納注意點，有利于使學(xué)習(xí)形成分化，達(dá)到深化理解的目的。⑷運用比較，開拓解題思路①通過比較、溝通聯(lián)系，變換思考角度【例】一堆煤用去1200噸，比余下的多1/3，這堆煤原有多少噸?【分析】若按題目的

8、思路進行思考，計算量大：設(shè)這堆煤原有x噸，用去120