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1、第十五章比較與類比第一節(jié)比較概述與類型1、比較概述比較是人類認(rèn)識(shí)客觀事物的一種最基本的思維方法。比如,對事物集合量的最初的認(rèn)識(shí),正是通過比較認(rèn)識(shí)到事物集合量的“多”或“少”或“同樣多”,從而形成等價(jià)集合類的概念,最終得到自然數(shù)的概念。比較還使我們發(fā)現(xiàn)某類事物不同于它類事物的共同的本質(zhì)屬性,從而形成概念,達(dá)到對事物更深刻的認(rèn)識(shí)。無論是區(qū)分事物的質(zhì),還是區(qū)分事物的量,都要通過比較這一思維方法才能達(dá)到。區(qū)分事物的客觀基礎(chǔ),就是事物本身所具有的同一性和相異性。因此,我們可以說,比較就是在認(rèn)識(shí)事物的過程中,確定思維對象的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法,它是其他思維方法如分析
2、綜合、抽象概括、歸納演繹等的基礎(chǔ)。因此,要有意識(shí)地學(xué)會(huì)比較這一思維方法,把它作為數(shù)學(xué)思維的重點(diǎn)之一。2、比較類型⑴相同點(diǎn)的比較就是要確定我們的思維對象的共同屬性。有些貌似不同的事物,也可能存在一些共同點(diǎn),這些共同之處往往聯(lián)系著它們的規(guī)律。因此,通過比較尋找相異事物的共同點(diǎn),可以開拓思路,探索規(guī)律,更深刻地認(rèn)識(shí)事物及其相互關(guān)系,這類比較方法可以概括為“異中見同”?!纠繉⑺膫€(gè)分?jǐn)?shù)按照由小到大的順序排列。【分析】這四個(gè)分?jǐn)?shù)互不相同,若作通分后比較,將非常麻煩。但經(jīng)觀察比較,得到一個(gè)共同特點(diǎn)是,分子總比分母小1。其中:分子相同的分?jǐn)?shù)僅比較分母即可,即由可得到【例】
3、用一條直線將一個(gè)長方形分為兩等分,有幾種畫法?【分析】分法是很多的,畫出幾種并不難,難在需要確定有幾種畫法。在多種畫法中,比較下面這種最特殊的一種畫法:即經(jīng)過矩形兩對角線交點(diǎn)——矩形的中心,所畫的直線都平分矩形;而且容易由平行截割定理證明其正確性;因此,用一條直線將一個(gè)長方形分為兩等分,有無數(shù)種畫法。而經(jīng)過矩形兩對角線交點(diǎn)可作無數(shù)條直線;⑵不同點(diǎn)的比較不同點(diǎn)的比較就是要確定思維對象的不同特性。有些貌似相同或十分相似的事物,實(shí)際上總是存在著某些差異,即使是相等的事物,也只是彼此不相同、不同一的事物之間的同一。通過比較尋找相同或相似事物的不同點(diǎn),同樣可以開拓思路
4、,探尋規(guī)律,更深刻地理解某些概念及其相互關(guān)系。這類比較方法可以概括為“同中求異”?!纠肯旅婷拷M數(shù)中,請找出不同類的數(shù)來,并說明理由?!窘狻吭冖沤M數(shù)中,不是自然數(shù)。在⑵組數(shù)中,⑴1,4,7,,14,17,20,⑵0,1,1.5,3,6,8,16,不是整數(shù)?!纠勘容^合數(shù)與偶數(shù)的區(qū)別。【解】分別從內(nèi)涵和外延兩方面進(jìn)行比較:【區(qū)別】⑴兩概念的外延是交叉關(guān)系,合數(shù)中不含負(fù)偶數(shù)、0和2,概念內(nèi)涵外延合數(shù)能被1和它自身以外數(shù)整除的自然數(shù)4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,…偶數(shù)能被2整除的整數(shù)…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,…而偶數(shù)中不
5、含奇合數(shù);⑵兩概念的內(nèi)涵是交叉關(guān)系,合數(shù)規(guī)定能被1和它自身以外數(shù)整除,而且是自然數(shù);而偶數(shù)規(guī)定能被2整除的整數(shù),而且是整數(shù)。上述兩例都是“同中見異”的比較。“異中見同”和“同中見異”兩類比較方法在實(shí)際運(yùn)用過程中,往往是綜合進(jìn)行的,并配合其他思維方法,相輔相成。3、比較方法舉例⑴運(yùn)用比較,掌握數(shù)量關(guān)系【例1】小營村有耕地面積180畝,其中棉田占總耕地面積的3/5,全村棉田有多少畝?【例2】小營村有棉田面積180畝,棉田占總耕地面積的3/5,全村總耕地有多少畝?【比較】兩題的數(shù)量關(guān)系都沒變,都是全村總耕地面積×3/5=全村棉田面積不同的是已知條件與所求問題交換了
6、。⑵運(yùn)用比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律【例1】比較一組等式:6÷3=2,60÷30=2,600÷300=2,6000÷3000=2,60000÷30000=2,觀察6K÷3K=2再考慮(6×0)÷(3×0)=?總結(jié)運(yùn)算規(guī)律:“被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)乘以相同的非零數(shù)值,商不變?!雹沁\(yùn)用比較,突出概念的內(nèi)涵和外延概念學(xué)習(xí)中適當(dāng)運(yùn)用變式材料,借助比較,促進(jìn)理解概念的內(nèi)涵,那么這個(gè)概念的外延也就明確了。①運(yùn)用比較,辯析易混概念——恰當(dāng)組織正反對比學(xué)習(xí)中,從正面揭示概念、法則、公式等,無疑是重要的,但僅僅這樣還不夠,對一些重要概念和典型問題,應(yīng)抓住本質(zhì)進(jìn)行正反對比,或從反面提出一些問題,進(jìn)
7、行思索判斷,加深理解。②適時(shí)歸納已學(xué)過的相關(guān)概念數(shù)學(xué)概念體系中,有一些相似概念(如數(shù)位和位數(shù)、質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)、比和比例、求比值與化簡比、方程的解與解方程等),還有一些相近概念(如除盡與整除、數(shù)與數(shù)字、質(zhì)數(shù)與質(zhì)因數(shù)、計(jì)數(shù)與記數(shù)等),還有一些相反概念(如約數(shù)與倍數(shù)、擴(kuò)大與縮小、化法與聚法、正比例與反比例等),都是容易混淆的概念,在復(fù)習(xí)階段把這些易混概念放在一起進(jìn)行對比辯析,歸納注意點(diǎn),有利于使學(xué)習(xí)形成分化,達(dá)到深化理解的目的。⑷運(yùn)用比較,開拓解題思路①通過比較、溝通聯(lián)系,變換思考角度【例】一堆煤用去1200噸,比余下的多1/3,這堆煤原有多少噸?【分析】若按題目的
8、思路進(jìn)行思考,計(jì)算量大:設(shè)這堆煤原有x噸,用去120