傅立葉變換與頻域分析

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1、第九章傅立葉變換與頻域分析第一節(jié)傅立葉變換及其意義（FourierTransform）第二節(jié)快速傅立葉變換（FastFourierTransform）第三節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)（PropertiesoftheFourierTransform）第四節(jié)頻域分析（FrequencyDomainanalysis）第五節(jié)頻域分辨率和譜圖表示（FrequencyResolutioninFrequencyDomain）第六節(jié)幅值平方相干函數(shù)（Magnitude-SquaredCoherentFunction）第七節(jié)頻域?yàn)V波（FilteringinFr

2、equencyDomain）2第一節(jié)傅立葉變換及其意義（FourierTransform）9.1.1傅立葉變換的意義及各種變換對(duì)如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的輸入可以表示為周期復(fù)指數(shù)的線性組合，則輸出也一定能表示成這種形式，并且輸出線性組合中的加權(quán)系數(shù)與輸入中對(duì)應(yīng)的系數(shù)有關(guān)。圖9.1各種信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換對(duì)：傅立葉變換的意義把一個(gè)無論多復(fù)雜的輸入信號(hào)分解成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，那么系統(tǒng)的輸出也能通過圖9.1的關(guān)系表達(dá)成相同復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，并且在輸出中的每一個(gè)頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)上乘以系統(tǒng)在那個(gè)頻率的頻率響應(yīng)值。一個(gè)域離散必然另外一

3、個(gè)域周期，相反的，如果一個(gè)域連續(xù)必然另外一個(gè)域是非周期的。59.1.2離散傅立葉變換（DFT）離散傅立葉變換的導(dǎo)出有多種方法，比較方便，同時(shí)物理意義也比較清晰，是從離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）和從離散傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）入手。【例9-1】試計(jì)算常用信號(hào)和的N點(diǎn)DFT。解：旋轉(zhuǎn)因子具有下列性質(zhì)：周期性:共軛對(duì)稱性:可約性:第二節(jié)快速傅立葉變換（FastFourierTransform）FFT是對(duì)計(jì)算DFT的快速算法的總稱，F(xiàn)FT算法很多，最經(jīng)典的一種就是庫利－圖基算法，包括基于時(shí)間抽選和頻率抽選的以二為基底的FFT算法；由以二為基底

4、發(fā)展了任意基數(shù)的FFT算法。設(shè)序列的長度N＝2m，其中m為正整數(shù)，如果不滿足該條件，可以通過補(bǔ)零方法來達(dá)到該條件。既然點(diǎn)長為偶數(shù)，就先把序列分成兩組，偶數(shù)項(xiàng)為一組，奇數(shù)項(xiàng)為一組，分別用兩個(gè)序列來表示：(9-1)則N點(diǎn)DFT運(yùn)算也相應(yīng)分為兩組：根據(jù)的可約性，有，上式變成：其中分別為的N/2點(diǎn)DFT：(9-2)(9-3)利用的隱含周期性可以得到另外一半值.從而得到N點(diǎn)DFT分解計(jì)算式：(9-4)將式（9-4）用信號(hào)流圖表示，如圖9-2，左邊表示輸入，右邊表示輸出，支路上的箭頭表示乘法運(yùn)算，乘的因子只對(duì)有相位變換而沒有幅度變換，所以被稱為

5、旋轉(zhuǎn)因子，由于此圖像蝴蝶，故稱為蝶形運(yùn)算。一個(gè)蝶形運(yùn)算只包括一次復(fù)數(shù)乘法、兩次復(fù)數(shù)加法。圖9-2蝶形流圖12第三節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)（PropertiesoftheFourierTransform）設(shè)序列和都是N點(diǎn)長，它們對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)DFT分別為和,來討論傅立葉變換的一些性質(zhì)。1.線性a，b為任意常數(shù)。如果兩個(gè)序列的長度不同則短的序列補(bǔ)零使得兩個(gè)序列長度相同即可。132.時(shí)間翻轉(zhuǎn)特性證明：這里需要補(bǔ)充3.序列的循環(huán)移位因而有序列的循環(huán)移位在第六章詳細(xì)介紹過，這里簡單給出循環(huán)移位的定義：14即序列的循環(huán)移位相當(dāng)于頻域的相移。根據(jù)時(shí)域和頻域

6、的對(duì)偶性質(zhì)，則頻域的循環(huán)移位對(duì)應(yīng)時(shí)域的調(diào)制：上式表示的含義為，先將序列以N為周期進(jìn)行周期性延拓，得到，然后再進(jìn)行移位，得到，最后取主值序列，得到仍然是一個(gè)N點(diǎn)長的序列。循環(huán)移位后的DFT為:因此，序列循環(huán)移位后的DFT為：154.循環(huán)卷積第六章介紹了循環(huán)卷積的計(jì)算，這里考慮時(shí)域循環(huán)卷積結(jié)果和頻域的關(guān)系。設(shè)則有:通常把式（9-5）稱為循環(huán)卷積，它的結(jié)果仍然是N點(diǎn)長的序列,循環(huán)卷積交換序列的先后次序得到的結(jié)果都相同。時(shí)域和頻域的對(duì)偶關(guān)系，可以得到頻域循環(huán)卷積對(duì)應(yīng)時(shí)域相乘：(9-5)時(shí)域循環(huán)卷積對(duì)應(yīng)于DFT的相乘，注意不要和線性卷積混淆，

7、兩個(gè)序列線性卷積對(duì)應(yīng)于DTFT的相乘：16式中表示循環(huán)卷積運(yùn)算符，式中表示線性卷積運(yùn)算符。循環(huán)卷積和線性卷積存在一定關(guān)系，由第六章知道，循環(huán)卷積是N點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果，序列長度為N，線性卷積序列長度為2N－1。假設(shè)序列是兩個(gè)序列的L點(diǎn)循環(huán)卷積，L>N，就需要對(duì)補(bǔ)零，然后以L為周期進(jìn)行周期延拓,則它們的L點(diǎn)循環(huán)卷積為：(9-6)17【例9-2】設(shè)有兩序列分別為求它們的線性卷積和5點(diǎn)循環(huán)卷積。式（9－6）表示循環(huán)卷積是線性卷積以L為周期進(jìn)行周期延拓，然后取L點(diǎn)主值的結(jié)果。明顯，如果線性卷積就等于循環(huán)卷積結(jié)果，如果,則循環(huán)卷積是線性卷積以L為

8、周期延拓的混疊。解：線性卷積,直接計(jì)算得到6點(diǎn)序列值：循環(huán)卷積，用表格法來計(jì)算，如表9.2所示。18表9.2表格法求循環(huán)卷積n11100020543713205452432059354320124054329我們利用上述結(jié)果來驗(yàn)證式（