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《函數(shù)的凸性與拐點》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、§5函數(shù)的凸性與拐點從兩個熟悉的函數(shù)的圖象來看凸性的不同：的上方(下方).返回如(1)和(2)式中的不等號改為嚴(yán)格不等號,則相應(yīng)定義1設(shè)f為區(qū)間I上的函數(shù)．若對于I上的任意則稱f為I上的一個凸函數(shù).反之如果總有則稱f為I上的一個凹函數(shù).的函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù).很明顯，若f(x)為(嚴(yán)格)的凸函數(shù),那么–f(x)就引理f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是：為(嚴(yán)格)凹函數(shù)，反之亦然.從而有因為f(x)為I上的凸函數(shù)，所以證（必要性）于是整理后即為(3)式.即由于必要性的證明是可逆的，從而得到（充分性）對于任意則所以f為I上的凸函數(shù).同理可證f為I上的凸函數(shù)的
2、充要條件是：對于注(4)式與(1)式是等價的.所以有些課本將(4)式作為凸函數(shù)的定義.(參見下圖)詹森(Jensen,J.L.1859-1925,丹麥)對于凹函數(shù)，請讀者自行寫出相應(yīng)的定理.這是著名的詹森不等式.由數(shù)學(xué)歸納法不難證明：f為I上的凸函數(shù)充要(5)式是凸函數(shù)最常用的不等式.即：例1設(shè)f為開區(qū)間(a,b)上的凸函數(shù),那么它在下面舉例說明凸函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì).證上處處連續(xù).(a,b)中每一點的左、右導(dǎo)數(shù)存在.特別是在(a,b)由引理得到這就證明了F(h)有下界.所以注開區(qū)間上的凸函數(shù)處處連續(xù),但不一定處處可導(dǎo);閉區(qū)間上的凸函數(shù)在端點不一定連續(xù).定理6.13設(shè)f為區(qū)
3、間I上的可導(dǎo)函數(shù),則下述注(iii)中的不等式表示切線恒在凸曲線的下方.論斷互相等價：證我們在這里再一次強(qiáng)調(diào)，的切線位于曲線的下方.于相應(yīng)曲線段的上方;而它義是:曲線y=f(x)的弦位函數(shù)f是凸函數(shù)的幾何意點擊上圖動畫演示證由定理6.13立即可得.定理6.14設(shè)f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，則f(x)我們在定理中列出了凸函數(shù)的三個等價性質(zhì).對理.于凹函數(shù)也有類似的性質(zhì),請大家寫出相應(yīng)的定在區(qū)間I上是凸(凹)函數(shù)的充要條件為：解因為例2(本例說明：在凸(凹)函數(shù)的條件下，可微函數(shù)的極值點與穩(wěn)定點是等價的.)例3設(shè)函數(shù)f(x)為(a,b)上的可導(dǎo)凸(凹)函數(shù).證充分性是顯然
4、的(費馬定理).下面證明必要性.由定理6.13的(ii),是遞增的.所以設(shè)f(x)是凸函數(shù),x0是f(x)的穩(wěn)定點,(i)(ii)極小值.注我們實際上已經(jīng)證明，對于可微凸函數(shù)，其極極值，并且是極小值.證應(yīng)當(dāng)注意，這里并沒有假設(shè)函數(shù)f(x)的可微例4此下面這個例題自然就產(chǎn)生了.值總是極小值,可微凹函數(shù)的極值總是極大值.因性，所以例2的方法就失效了.對于任意 因為f(x0)是極小值，所以又因為f(x0)是嚴(yán)格凸函數(shù)，所以同理可證：對于任意 仍有f(x0)>f(x).存在 使得同時成立,矛盾.所以極值點惟一.設(shè)f(x)有另一極小值.根據(jù)以上討論，把
5、和x0分別看作極值點時,有均為正數(shù).詹森不等式例5證即又因故有再由對數(shù)函數(shù)是嚴(yán)格增的，就證得的嚴(yán)格凹函數(shù)，所以有例6圖中所示的M是一個拐點.定義2曲線的切線，并且切線的兩側(cè)分別M是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的，這時稱下面兩個定理是顯然的.定理6.15定理6.16但根據(jù)定義2,點(0,0)卻是曲線-2-1O12-11復(fù)習(xí)思考題1.兩個凸函數(shù)的乘積是否是凸函數(shù)?2.兩個凸函數(shù)的復(fù)合是否是凸函數(shù)?3.任選一個凸函數(shù),利用詹森不等式構(gòu)造出新的不等式.
