數值計算方法(第3章)3

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1、3.4向量和矩陣的范數為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代法的收斂性，我們需要對Rn(n維向量空間)中的向量或Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量，——向量和矩陣的范數。向量和矩陣的范數在一維數軸上，實軸上任意一點x到原點的距離用

2、x

3、表示。而任意兩點x1，x2之間距離用

4、x1-x2

5、表示。向量和矩陣的范數而在二維平面上，平面上任意一點P(x,y)到原點的距離用表示。而平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離用表示。推廣到n維空間，則稱為向量范數。向量范數常見的向量范數向量范數性質向量范數性質等價性質：向量的收斂性3.4.2矩陣范數相容

6、范數算子范數算子范數算子范數常見的矩陣范數常見的矩陣范數對稱矩陣范數例題3.4.3矩陣的譜半徑和矩陣序列收斂性例題譜半徑和矩陣序列的收斂性矩陣序列的收斂性3.5病態(tài)方程組與矩陣的條件數3.5.1病態(tài)方程組與擾動方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動方程組的誤差分析病態(tài)方程組與擾動方程組的誤差分析病態(tài)方程組擾動方程由于計算機字長限制，在解AX=b時，舍入誤差是不可避免的。因此我們只能得出方程的近似解。是方程組（A+△A）x=b+△b(1)在沒有舍入誤差的解。稱方程（1）為方程Ax=b的擾動方程。其中△A

7、，△b為由舍入誤差所產生的擾動矩陣和擾動向量。當△A，△b的微小擾動，解得（1）的解與Ax=b的解x的相對誤差不大稱為良態(tài)方程，否則為病態(tài)方程。擾動方程組的誤差界3.5.2矩陣的條件數矩陣的條件數的性質相對誤差的事后估計定理3.6.3例題3.6解線性方程組的迭代法3.6.1解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述解線性方程組迭代法概述3.6.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法Jacobi迭代法Jacobi迭代法例題例題Jacobi迭代法的矩陣形式Jacobi迭代法的算法Gauss-Seidel迭代法Gauss-Se

8、idel迭代法例題Gauss-Seidel迭代法的算法3.6.3線性方程組迭代法收斂條件迭代法的收斂條件迭代法的收斂條件迭代法的誤差估計迭代法的誤差估計迭代法的誤差估計收斂的判別條件收斂的判別條件收斂的判別條件收斂的判別條件收斂的判別條件例題例題例題例題