蒙特卡羅算法

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1、MonteCarloSimulationMethods(蒙特卡羅模擬方法)主要內(nèi)容:一.M-C方法概述.二.隨機(jī)數(shù)的生成.三.模擬訓(xùn)練.四.實(shí)驗(yàn)題目.成信院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系李勝坤1蒙特卡洛(MonteCarlo)方法，或稱(chēng)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。這一方法源于美國(guó)在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。一.M-C方法概述2基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來(lái)決定事件的“概率”

2、。19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來(lái)決定π。高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量模擬這樣的試驗(yàn)成為可能。3從Buffon(蒲豐)投針問(wèn)題談起45試驗(yàn)者時(shí)間(年)針長(zhǎng)投針次數(shù)相交次數(shù)π的估計(jì)值Wolf18500.80500025323.15956Smith18550.60320412183.15665Fox18840.7510304893.15951Lazzarini19250.83340818083.141592926數(shù)值積分問(wèn)題選取(0,1)中隨機(jī)數(shù)序列x1，x2，x3，……xn。則誤差約，它并不能和一些高級(jí)的數(shù)值積分算法比擬，但對(duì)多維情況，MC方法卻很有吸引力。7

3、我們可產(chǎn)生一系列隨機(jī)數(shù)可簡(jiǎn)單取3個(gè)隨機(jī)數(shù)構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，即相應(yīng)地，一般地，8MonteCarlo數(shù)值積分的優(yōu)點(diǎn)與一般的數(shù)值積分方法比較，MonteCarlo方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：9M-C的基本思路1.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立一個(gè)簡(jiǎn)單且便于實(shí)現(xiàn)的概率統(tǒng)計(jì)模型，使所求的量（或解）恰好是該模型某個(gè)指標(biāo)的概率分布或者數(shù)字特征。2.對(duì)模型中的隨機(jī)變量建立抽樣方法，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬測(cè)試，抽取足夠多的隨機(jī)數(shù)，對(duì)有關(guān)事件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)3.對(duì)模擬試驗(yàn)結(jié)果加以分析，給出所求解的估計(jì)及其精度(方差)的估計(jì)4.必要時(shí)，還應(yīng)改進(jìn)模型以降低估計(jì)方差和減少試驗(yàn)費(fèi)用，提高模擬計(jì)算的效率10回顧幾種連續(xù)型分布1.均勻分布U

4、(a,b)其概率密度函數(shù)為有11均勻性特點(diǎn):均勻分布隨機(jī)變量X落在(a,b)內(nèi)任意子區(qū)間的概率只與子區(qū)間的長(zhǎng)度有關(guān),而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān).可假設(shè)有這種特性的隨機(jī)變量服從均勻分布.均勻分布隨機(jī)變量X的取值具有”均勻性”122.正態(tài)分布正態(tài)分布隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是正態(tài)分布由兩個(gè)參數(shù)和唯一確定.其中是X的均值(數(shù)學(xué)期望):=E(X),它確定了概率曲線(xiàn)的中心位置,而是X的標(biāo)準(zhǔn)差:,它確定了概率曲線(xiàn)的”寬窄”程度.13在許多實(shí)際問(wèn)題中,有一類(lèi)隨機(jī)變量可以表示成為許多相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和,而其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)總和只起微小的影響,這類(lèi)隨機(jī)變量往往服從或近似服從正態(tài)分布.在實(shí)際應(yīng)用

5、中,如果我們分析到一個(gè)隨機(jī)變量受到較多獨(dú)立的微小因素的疊加影響,就可以用正態(tài)分布來(lái)模擬這個(gè)變量.如:工廠(chǎng)產(chǎn)品的測(cè)量尺寸,農(nóng)作物的收獲量,某地區(qū)成年人的身高,體重等可看成服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.143.指數(shù)分布指數(shù)分布隨機(jī)變量X的概率密度為指數(shù)分布常用來(lái)描述壽命問(wèn)題.15二.隨機(jī)數(shù)的生成1.蒙特卡羅模擬的關(guān)鍵是生成優(yōu)良的隨機(jī)數(shù)。2.在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)中,我們是通過(guò)確定性的算法生成隨機(jī)數(shù),所以這樣生成的序列在本質(zhì)上不是隨機(jī)的,只是很好的模仿了隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)(如可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn))。我們通常稱(chēng)之為偽隨機(jī)數(shù)(pseudo-randomnumbers)。3.在模擬中，我們需要產(chǎn)生各種概率分布的

6、隨機(jī)數(shù)，而大多數(shù)概率分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生均基于均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)。16U(0,1)隨機(jī)數(shù)的生成乘同余法：稱(chēng)為種子,a是乘因子,m是模數(shù)17一個(gè)簡(jiǎn)單的例子18一個(gè)簡(jiǎn)單的例子(續(xù))上面的例子中，第一個(gè)隨機(jī)數(shù)生成器的周期長(zhǎng)度是10，而后兩個(gè)生成器的周期長(zhǎng)度只有它的一半。我們自然希望生成器的周期越長(zhǎng)越好，這樣我們得到的分布就更接近于真實(shí)的均勻分布。19線(xiàn)性同余生成器(混合同余法)(LinearCongruentialGenerator)c是非負(fù)整數(shù).通過(guò)適當(dāng)選取參數(shù)c可以改善隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)(獨(dú)立性,均勻性).20常用的線(xiàn)性同余生成器ModulusmMultiplieraR

7、eference2^31-1=214748364716807Lewis,Goodman,andMiller39373L’Ecuyer742938285FishmanandMoore950706376FishmanandMoore1226874159FishmanandMoore214748339940692L’Ecuyer214748356340014L’Ecuyer21復(fù)雜一些的生成器Multiplerecursivegenerator22算法實(shí)現(xiàn)許多程序語(yǔ)言中都自帶生成隨機(jī)數(shù)的方法，如c中的random()函數(shù)