探究存在性問(wèn)題

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1、探究存在性問(wèn)題高2015級(jí)12班陳星佚在數(shù)學(xué)的探索型問(wèn)題屮有一?類存在性問(wèn)題，它常常提出這樣的問(wèn)題：某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在，或某種特性是否成立？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)對(duì)彖或論證該特性;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解這類問(wèn)題的一般方法是：先假設(shè)所求的對(duì)象存在或特性成立，以此假設(shè)為依據(jù)進(jìn)行求解或推理論證，若能對(duì)該對(duì)象求出結(jié)果，或在推理論證過(guò)程中沒(méi)出現(xiàn)矛盾，得出了肯定的結(jié)論，則該假設(shè)成立，存在此數(shù)學(xué)對(duì)象或特性；若在求解或推理過(guò)程中得出矛盾，則假設(shè)不成立，即不存在該數(shù)學(xué)對(duì)象或特性。一、二次函數(shù)圖像中的存在性問(wèn)題(一)是否存在平行

2、四邊形、梯形、正方形、長(zhǎng)方形、菱形等例1已知二次函數(shù)y=ax1^bx+c(qhO)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)人(1,0),B(2,0),C(0,-2),直線x=m(m>2)與兀軸交于點(diǎn)D?(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在直線x=m(m>2)上有一點(diǎn)、E(點(diǎn)E在第四彖限)，便得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、0、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)坐標(biāo)(用含加的代數(shù)式表示);(3)在(2)成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F,使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出加的值及四邊形ABEF的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：(

3、1)(2)略；(3)假設(shè)存在該點(diǎn)F,使得四邊形ABEF為平行四邊形。然后利用這一假設(shè)充當(dāng)已知條件，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行R相等進(jìn)行求解。解：(1)V二一卡+%-2(2—,27、(2)求得E]m,；E°(m,4-2m)?I2丿(3)假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)F,使得四邊形ABEF為平行四邊形，則EF=AB=點(diǎn)F的橫坐標(biāo)當(dāng)點(diǎn)Q的處標(biāo)為2-mym,2丿點(diǎn)片的朋標(biāo)為心，學(xué)???點(diǎn)耳在拋物線的圖象匕...2___（加_］）2+3（加_］）_2,27m=—,m=2（舍去），2f53、:.F},.e3344II、當(dāng)點(diǎn)E?

4、的坐標(biāo)為（加昇一2加）時(shí)，點(diǎn)F?的坐標(biāo)為（m一1,4一2m）,???點(diǎn)場(chǎng)在拋物線的圖象上，4-2m=-（m-1）2+3（m-1）-2,m=2（舍去），m=5f???鬥（4,-6）,?；$口倔尸=1><6二6總結(jié)：解決此類問(wèn)題，方法大同小異：先設(shè)存在一點(diǎn)（a,b）滿足形成平行四邊形，該點(diǎn)的坐標(biāo)用二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示。再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證（兩組對(duì)邊平行或相等，一組對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分等等性質(zhì)）。若不滿足，則不存在；若滿足，則存在。是否存在梯形、正方形、長(zhǎng)方形、菱形等問(wèn)題，方法類似，不再重復(fù)。注

5、意：觀察題目中是某對(duì)該點(diǎn)的位置進(jìn)行了限定，若沒(méi)有，則應(yīng)注意是否需要分類討論。（二）是否存在使題目中的面積關(guān)系成立的點(diǎn)例2如圖，拋物線y=ax2+c（a>0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在兀軸上，其中A（-2,0）,B（-1,-3）.（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到4、B兩點(diǎn)的距離Z和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的處標(biāo)；（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使Sm°=4Sww成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo).圖2解：(1)、因?yàn)辄c(diǎn)4、B均在拋物線上，故點(diǎn)4、B的處標(biāo)適合拋物線方程4a+c=

6、0a+c=-3a=1°解之得：；故y=x2-4為所求c=-4(2)如圖2,連接BD,交丿軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M就是所求作的點(diǎn)設(shè)BD的解析式為y=kx+b，則有2k+b=0—k+b=—3=-x2a/2xV2=2；設(shè)P(x,兀2一幻,-ADx2-4=4x2,即：-x4X2-422依題意有:4x2圖3然后根據(jù)等底三角形高之比等于面積之比、故〃D的解析式為y=x—2；令x=0,則『=—2,故M(0,—2)⑶、如圖3,連接AM,交丿軸于點(diǎn)N,由(2)矢口，0M=0A=0D=2,ZAMB=90°易知BN=MN=,易求AM=2

7、>/2,BM=近解之得：x=±2V2,x=0,故符合條件的P點(diǎn)有三個(gè):Px(2>/2,4),P2(-2>/2,4),P3(0,-4)總結(jié)：解決此類問(wèn)題，同樣也是設(shè)存在滿足條件的一個(gè)點(diǎn),等高三角形底之比等于面積之比、余弦定理、或直接將面積表示出來(lái)，列比例方程求解等方法判斷是否存在該點(diǎn)。注意：若兩個(gè)圖形的位置相差太遠(yuǎn)，則需連接輔助線，進(jìn)行面積轉(zhuǎn)換。(三)是否存在滿足題目中的線段關(guān)系的點(diǎn)例3己知拋物線y=a/+bx+c(aH0)頂點(diǎn)為C(1,1)過(guò)原點(diǎn)O.過(guò)拋物線上一點(diǎn)P(x,y)向直線y=—4作垂線，垂足為M,連

8、FM(如圖).(1)求字母a,b,c的值；3(2)在直線x=l上有一點(diǎn)F(l,-),求以PM為底邊的等腰三和形PFM的P點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明此時(shí)APPM4為正三角形；(3)對(duì)拋物線上任意一點(diǎn)P,是否總存在一點(diǎn)N(1,t),使PM=PN恒成立，若存在請(qǐng)求出t值，若不存在5請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)a=—hb=2,c=0(2)過(guò)P作總線x=l的垂線，可求P的縱處標(biāo)為丄，橫坐標(biāo)為1+丄巧.此時(shí)，MP=MF=PF=