任意性與存在性問(wèn)題探究

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1、函數(shù)中任意性和存在性問(wèn)題探究2011-12-22高考中全稱(chēng)命題和存在性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是近年高考的一大亮點(diǎn)，下面結(jié)合高考試題對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行歸納探究一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1：；【如圖一】結(jié)論2：；【如圖二】結(jié)論3：；【如圖三】結(jié)論4：；【如圖四】結(jié)論5：的值域和的值域交集不為空；【如圖五】【例題1】：已知兩個(gè)函數(shù);(1)若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若,使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）設(shè),（1）中的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：時(shí)，恒成立，即。；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,

2、2)2(2,3)3(x)+0－0+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因?yàn)?所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).小結(jié)：①對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f(x)k對(duì)x∈I時(shí)恒成立[f(x)]min>k,x∈I.②此題常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范圍.這種解法的錯(cuò)誤在于條件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價(jià).（2）根據(jù)題意可知，（2）中的問(wèn)題等

3、價(jià)于h(x)=g(x)－f(x)≥0在x∈[-3,3]時(shí)有解,故[h(x)]max≥0.由（1）可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞).小結(jié)：①對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f(x)k對(duì)x∈I時(shí)有解[f(x)]max>k,x∈I.②此題常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法：由[f(x)]min≤[g(x)]min解出k的取值范圍.這種解法的錯(cuò)誤在于條件“[f(x)]min≤[g(x)]min”既不是是原題的充分要條件，也不是必要條件.(3)根據(jù)題意可知，（3）中的問(wèn)題等價(jià)于[f

4、(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得,x∈[-3,3]時(shí),[f(x)]max=120－k.仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x∈[-3,3]時(shí),[g(x)]min=－21.由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).說(shuō)明：這里的x1,x2是兩個(gè)互不影響的獨(dú)立變量.從上面三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程可以看出,對(duì)于一個(gè)不等式一定要看清是對(duì)“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時(shí)還要看清不等式兩邊是同一個(gè)變量，還是兩個(gè)獨(dú)立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價(jià)條件,千萬(wàn)不要稀里糊涂的去猜..【例題

5、2】：(2010年山東理科22)已知函數(shù);(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)，,使，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）（解答過(guò)程略去，只給出結(jié)論）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)0

6、）上單調(diào)遞增，所以f(x)在（0,2）上的最小值為f(1)=－.由于“對(duì)x1∈（0,2），x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”等價(jià)于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值f(1)=－”.（※）又g(x)=(x－b)2+4－b2,x∈[1,2],所以①當(dāng)b<1時(shí)，因?yàn)閇g(x)]min=g(1)=5－2b>0,此時(shí)與（※）矛盾；②當(dāng)b∈[1,2]時(shí),因?yàn)閇g(x)]min=4－b2≥0，同樣與（※）矛盾；③當(dāng)b∈（2，+∞）時(shí)，因?yàn)閇g(x)]min=g(2)=8－4b.解不等式8－4b≤－，可得b≥.

7、綜上，b的取值范圍是[,+∞).二、相關(guān)類(lèi)型題：　〈一〉、型；　　形如型不等式，是恒成立問(wèn)題中最基本的類(lèi)型，它的理論基礎(chǔ)是“在上恒成立，則在x∈D上恒成立，則”.許多復(fù)雜的恒成立問(wèn)題最終都可歸結(jié)到這一類(lèi)型.　　例1：已知二次函數(shù)，若時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.　　解：，∴；即；　　當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，　　∴a∈R.　　當(dāng)時(shí)，由得：，而　　.　∴.　　又∵，∴，綜上得a的范圍是?！　　炊?、型　　例2已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則的最小值為_(kāi)___.　　解∵對(duì)任意x∈R，不等式恒成立，　　∴分別是的最小值和最大值.　　對(duì)于函數(shù)，取得最大值

8、和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是π，即半個(gè)周期.　　又函數(shù)的周期為4，∴的最小值為2.　　〈三〉、.型　　例3：(2005湖北)在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　)　　A.0