高中數(shù)學(xué)解題積分方法之配方法

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1、配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基

2、本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；……等等。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.在正項(xiàng)等比數(shù)列{a}中，asa+2asa+

3、aa=25，則a＋a＝_______。2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。A.1C.k∈RD.k＝或k＝13.已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。A.1B.－1C.1或－1D.04.函數(shù)y＝log(－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。A.（－∞,]B.[,+∞)C.(－,]D.[,3)5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a＝_____?！竞喗狻?小題：利用等比數(shù)列

4、性質(zhì)aa＝a，將已知等式左邊后配方（a＋a）易求。答案是：5。2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，選B。3小題：已知等式經(jīng)配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3－。Ⅱ、示范性題組：例1.已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個(gè)長方體的一條對(duì)角線長為_____。A.2B.C.5D.6【分析】先轉(zhuǎn)

5、換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，則,而欲求對(duì)角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得?！窘狻吭O(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：。長方體所求對(duì)角線長為：＝＝＝5所以選B?！咀ⅰ勘绢}解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2.設(shè)方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()≤7成立，求實(shí)數(shù)k的取

6、值范圍?！窘狻糠匠蘹＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。又∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2綜合起來，k的取值范圍是：－≤k≤－或者≤k≤?！咀ⅰ筷P(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能

7、結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋()?！痉治觥繉?duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω（ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab。則代入所求式即得。【解】由a＋ab＋b=0變形得：()＋()＋1＝0，設(shè)ω＝，則ω＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω＝＝1。又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab，所以()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2?！咀ⅰ勘绢}通過配方，簡化了所求的表達(dá)式

8、；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。【另解】由a＋ab＋b＝0變形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()＋()后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未聯(lián)想到ω時(shí)進(jìn)行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過程時(shí)，還可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代