曲線積分與曲面積分(解題方法歸納

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1、第十一章解題方法歸納一、曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法1.曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法歸納如下：(1)利用性質(zhì)計(jì)算曲線積分和曲面積分.(2)直接化為定積分或二重積分計(jì)算曲線或曲面積分(3)利用積分與路徑無關(guān)計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分.(4)利用格林公式計(jì)算平面閉曲線上的曲線積分.(5)利用斯托克斯公式計(jì)算空間閉曲線上的曲線積分.(6)利用高斯公式計(jì)算閉曲面上的曲面積分.2.在具體計(jì)算時(shí)，常用到如下一些結(jié)論：（1）若積分曲線關(guān)于軸對稱，則其中是在右半平面部分.若積分曲線關(guān)于軸對稱，則其中是在上半平面部分.（2）若空間積分曲線關(guān)于平面對稱，則.（3）若積分曲面關(guān)于面對稱，則其中是在面上方部分.

2、若積分曲面關(guān)于面對稱，則其中是在面前方部分.若積分曲面關(guān)于面對稱，則其中是在面右方部分.（4）若曲線弧，則若曲線弧（極坐標(biāo)），則若空間曲線弧，則（5）若有向曲線弧，則若空間有向曲線弧，則（6）若曲面，則其中為曲面在面上的投影域.若曲面，則其中為曲面在面上的投影域.若曲面，則其中為曲面在面上的投影域.（7）若有向曲面，則（上“+”下“-”）其中為在面上的投影區(qū)域.若有向曲面，則（前“+”后“-”）其中為在面上的投影區(qū)域.若有向曲面，則（右“+”左“-”）其中為在面上的投影區(qū)域.（8）與路徑無關(guān)（為內(nèi)任一閉曲線）（存在）其中是單連通區(qū)域，在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).（9）格林公式其中為有界閉

3、區(qū)域的邊界曲線的正向，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).（10）高斯公式或其中為空間有界閉區(qū)域的邊界曲面的外側(cè)，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為曲面在點(diǎn)處的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式其中為曲面的邊界曲線，且的方向與的側(cè)（法向量的指向）符合右手螺旋法則，在包含在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).1.計(jì)算曲線積分或曲面積分的步驟：（1）計(jì)算曲線積分的步驟：1）判定所求曲線積分的類型（對弧長的曲線積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分）；2）對弧長的曲線積分，一般將其化為定積分直接計(jì)算；對坐標(biāo)的曲線積分：①判斷積分是否與路徑無關(guān)，若積分與路徑無關(guān)，重新選取特殊路徑積分；②判斷是否滿足或添加輔助線后滿足格林公式

4、的條件，若滿足條件，利用格林公式計(jì)算（添加的輔助線要減掉）；③將其化為定積分直接計(jì)算.④對空間曲線上的曲線積分，判斷是否滿足斯托克斯公式的條件，若滿足條件，利用斯托克斯公式計(jì)算；若不滿足，將其化為定積分直接計(jì)算.（2）計(jì)算曲面積分的步驟：1）判定所求曲線積分的類型（對面積的曲面積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分）；2）對面積的曲面積分，一般將其化為二重積分直接計(jì)算；對坐標(biāo)的曲面積分：①判斷是否滿足或添加輔助面后滿足高斯公式的條件，若滿足條件，利用高斯公式計(jì)算（添加的輔助面要減掉）；②將其投影到相應(yīng)的坐標(biāo)面上，化為二重積分直接計(jì)算.例1計(jì)算曲線積分，其中為取逆時(shí)針方向.解由于積分曲線關(guān)于軸、軸均

5、對稱，被積函數(shù)對、均為偶函數(shù)，因此故『方法技巧』對坐標(biāo)的曲線積分的對稱性與對弧長的曲線積分對稱性不同，記清楚后再使用.事實(shí)上，本題還可應(yīng)用格林公式計(jì)算.例2計(jì)算曲面積分，其中為球面.解由積分曲面的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性知又由輪換對稱性知故『方法技巧』對面積的曲面積分的對稱性與對坐標(biāo)的曲面積分的對稱性不同，理解起來更容易些.若碰到積分曲面是對稱曲面，做題時(shí)可先考慮一下對稱性.例3計(jì)算曲面積分，其中為球面.解『方法技巧』積分曲面是關(guān)于對稱的，被積函數(shù)是的奇函數(shù)，因此例4計(jì)算曲線積分，其中為圓周的逆時(shí)針方向.解法1直接計(jì)算.將積分曲線表示為參數(shù)方程形式代入被積函數(shù)中得解法2利用格林公式

6、其中，故『方法技巧』本題解法1用到了定積分的積分公式：解法2中，一定要先將積分曲線代入被積函數(shù)的分母中，才能應(yīng)用格林公式，否則不滿足在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件.例5計(jì)算曲線積分，其中為沿由點(diǎn)到點(diǎn)的曲線弧.解直接計(jì)算比較困難.由于，因此在不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無關(guān).取圓周上從到點(diǎn)的弧段代替原弧段，其參數(shù)方程為：，代入被積函數(shù)中得『方法技巧』本題的關(guān)鍵是選取積分弧段，既要保證簡單，又要保證不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).例6計(jì)算曲面積分，其中為的法向量與各坐標(biāo)軸正向夾銳角的側(cè)面.解由于曲面具有輪換對稱性，，投影到面的區(qū)域，故『方法技巧』由于積分曲面具有輪換對稱性，因此可以將直接轉(zhuǎn)換為，只

7、要投影到面即可.例7計(jì)算曲面積分，其中為錐面在部分的上側(cè).解利用高斯公式.添加輔助面，取下側(cè)，則其中為和圍成的空間圓錐區(qū)域，為投影到面的區(qū)域，即，由的輪換對稱性，有故『方法技巧』添加輔助面時(shí)，既要滿足封閉性，又要滿足對側(cè)的要求.本題由于積分錐面取上側(cè)（內(nèi)側(cè)），因此添加的平面要取下側(cè)，這樣才能保證封閉曲面取內(nèi)側(cè)，使用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分時(shí)，前面要添加負(fù)號.例8計(jì)算曲線積分，其中從軸的正向往負(fù)向看，的方向是順時(shí)針方向.解應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算.令取下側(cè)，在面的投影區(qū)域?yàn)椋?/p>