離散數(shù)學(xué)第九章代數(shù)系統(tǒng).ppt

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1、第三部分代數(shù)結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容代數(shù)系統(tǒng)----二元運(yùn)算及其性質(zhì)、代數(shù)系統(tǒng)和子代數(shù)半群與群----半群、獨(dú)異點(diǎn)、群環(huán)與域-----環(huán)、整環(huán)、域格與布爾代數(shù)----格、布爾代數(shù)1第九章代數(shù)系統(tǒng)主要內(nèi)容二元運(yùn)算及其性質(zhì)一元和二元運(yùn)算定義及其實(shí)例二元運(yùn)算的性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)定義及其實(shí)例子代數(shù)積代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)29.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)定義9.1設(shè)S為集合，函數(shù)f：S?S?S稱(chēng)為S上的二元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱(chēng)為二元運(yùn)算．S中任何兩個(gè)元素都可以進(jìn)行運(yùn)算，且運(yùn)算的結(jié)果惟一．S中任何兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果都屬于S，即S對(duì)該運(yùn)算封閉．例1(1)自然數(shù)集合N上的加法和乘法是N上的二元

2、運(yùn)算，但減法和除法不是．(2)整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運(yùn)算，而除法不是．(3)非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運(yùn)算，而加法和減法不是．3實(shí)例(4)設(shè)Mn(R)表示所有n階(n≥2)實(shí)矩陣的集合，即則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算.(5)S為任意集合，則∪、∩、－、?為P(S)上二元運(yùn)算.(6)SS為S上的所有函數(shù)的集合，則合成運(yùn)算?為SS上二元運(yùn)算.4一元運(yùn)算的定義與實(shí)例定義9.2設(shè)S為集合，函數(shù)f:S→S稱(chēng)為S上的一元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱(chēng)一元運(yùn)算.例2(1)求相反數(shù)是整數(shù)集合Z,有理數(shù)集合Q和實(shí)數(shù)集合R上的一元運(yùn)

3、算(2)求倒數(shù)是非零有理數(shù)集合Q*,非零實(shí)數(shù)集合R*上一元運(yùn)算(3)求共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)集合C上的一元運(yùn)算(4)在冪集P(S)上規(guī)定全集為S，則求絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算~是P(S)上的一元運(yùn)算.(5)設(shè)S為集合，令A(yù)為S上所有雙射函數(shù)的集合，A?SS，求一個(gè)雙射函數(shù)的反函數(shù)為A上的一元運(yùn)算.(6)在n(n≥2)階實(shí)矩陣的集合Mn(R)上，求轉(zhuǎn)置矩陣是Mn(R)上的一元運(yùn)算.5二元與一元運(yùn)算的表示1．算符可以用?,?,·,?,?,?等符號(hào)表示二元或一元運(yùn)算，稱(chēng)為算符.對(duì)二元運(yùn)算?，如果x與y運(yùn)算得到z，記做x?y=z對(duì)一元運(yùn)算?,x的運(yùn)算結(jié)果記作?x.2．表示二元或一元

4、運(yùn)算的方法:解析公式和運(yùn)算表公式表示例設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，如下定義R上的二元運(yùn)算?：?x,y∈R,x?y=x.那么3?4=3，0.5?(?3)=0.56運(yùn)算表：表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算運(yùn)算表二元運(yùn)算的運(yùn)算表一元運(yùn)算的運(yùn)算表7例3設(shè)S=P({a,b})，S上的?和～運(yùn)算的運(yùn)算表如下運(yùn)算表的實(shí)例8二元運(yùn)算的性質(zhì)定義9.3設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,(1)若對(duì)任意x,y∈S有x?y=y?x,則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿(mǎn)足交換律.(2)若對(duì)任意x,y,z∈S有(x?y)?z=x?(y?z),則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿(mǎn)足結(jié)合律.(3)若對(duì)任意x∈S有x?x=x,則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿(mǎn)足冪等律.定

5、義9.4設(shè)?和?為S上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算,(1)若對(duì)任意x,y,z∈S有(x?y)?z=(x?z)?(y?z)，z?(x?y)=(z?x)?(z?y),則稱(chēng)?運(yùn)算對(duì)?運(yùn)算滿(mǎn)足分配律.(2)若?和?都可交換,且對(duì)任意x,y∈S有x?(x?y)=x，x?(x?y)=x,則稱(chēng)?和?運(yùn)算滿(mǎn)足吸收律.9實(shí)例Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合,n?2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，

6、A

7、?2集合運(yùn)算交換律結(jié)合律冪等律Z,Q,R普通加法+普通乘法?有有有有無(wú)無(wú)Mn(R)矩陣加法+矩陣乘法?有無(wú)有有無(wú)無(wú)P(B)并?交?相對(duì)補(bǔ)?對(duì)

8、稱(chēng)差?有有無(wú)有有有無(wú)有有有無(wú)無(wú)AA函數(shù)復(fù)合?無(wú)有無(wú)10集合運(yùn)算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+與乘法??對(duì)+可分配+對(duì)?不分配無(wú)Mn(R)矩陣加法+與乘法??對(duì)+可分配+對(duì)?不分配無(wú)P(B)并?與交??對(duì)?可分配?對(duì)?可分配有交?與對(duì)稱(chēng)差??對(duì)?可分配無(wú)實(shí)例Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合,n?2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，

9、A

10、?211特異元素：?jiǎn)挝辉?、零元定義9.5設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,(1)如果存在el(或er)?S，使得對(duì)任意x∈S都有el?x=x(或x?er=x)，則稱(chēng)el(或er)是S中關(guān)于?運(yùn)

11、算的左(或右)單位元.若e∈S關(guān)于?運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱(chēng)e為S上關(guān)于?運(yùn)算的單位元.單位元也叫做幺元.(2)如果存在?l(或?r)∈S，使得對(duì)任意x∈S都有?l?x=?l(或x??r=?r)，則稱(chēng)?l(或?r)是S中關(guān)于?運(yùn)算的左(或右)零元.若?∈S關(guān)于?運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱(chēng)?為S上關(guān)于運(yùn)算?的零元.12可逆元素和逆元(3)設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,令e為S中關(guān)于運(yùn)算?的單位元.對(duì)于x∈S，如果存在yl(或yr)∈S使得yl?x=e（或x?yr=e）則稱(chēng)yl(或yr)是x的左逆元（或右逆元）.關(guān)于?運(yùn)算，若y∈S既是x的左逆元又是

12、x的右逆元，則稱(chēng)y為x的逆元.如果x的逆元存在，就稱(chēng)x是可逆的.13實(shí)例集合運(yùn)算單位元零元逆元