離散數學第九章代數系統(tǒng).ppt

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1、第三部分代數結構主要內容代數系統(tǒng)----二元運算及其性質、代數系統(tǒng)和子代數半群與群----半群、獨異點、群環(huán)與域-----環(huán)、整環(huán)、域格與布爾代數----格、布爾代數1第九章代數系統(tǒng)主要內容二元運算及其性質一元和二元運算定義及其實例二元運算的性質代數系統(tǒng)代數系統(tǒng)定義及其實例子代數積代數代數系統(tǒng)的同態(tài)與同構29.1二元運算及其性質定義9.1設S為集合，函數f：S?S?S稱為S上的二元運算，簡稱為二元運算．S中任何兩個元素都可以進行運算，且運算的結果惟一．S中任何兩個元素的運算結果都屬于S，即S對該運算封閉．例1(1)自然數集合N上的加法和乘法是N上的二元

2、運算，但減法和除法不是．(2)整數集合Z上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運算，而除法不是．(3)非零實數集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運算，而加法和減法不是．3實例(4)設Mn(R)表示所有n階(n≥2)實矩陣的集合，即則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運算.(5)S為任意集合，則∪、∩、－、?為P(S)上二元運算.(6)SS為S上的所有函數的集合，則合成運算?為SS上二元運算.4一元運算的定義與實例定義9.2設S為集合，函數f:S→S稱為S上的一元運算，簡稱一元運算.例2(1)求相反數是整數集合Z,有理數集合Q和實數集合R上的一元運

3、算(2)求倒數是非零有理數集合Q*,非零實數集合R*上一元運算(3)求共軛復數是復數集合C上的一元運算(4)在冪集P(S)上規(guī)定全集為S，則求絕對補運算~是P(S)上的一元運算.(5)設S為集合，令A為S上所有雙射函數的集合，A?SS，求一個雙射函數的反函數為A上的一元運算.(6)在n(n≥2)階實矩陣的集合Mn(R)上，求轉置矩陣是Mn(R)上的一元運算.5二元與一元運算的表示1．算符可以用?,?,·,?,?,?等符號表示二元或一元運算，稱為算符.對二元運算?，如果x與y運算得到z，記做x?y=z對一元運算?,x的運算結果記作?x.2．表示二元或一元

4、運算的方法:解析公式和運算表公式表示例設R為實數集合，如下定義R上的二元運算?：?x,y∈R,x?y=x.那么3?4=3，0.5?(?3)=0.56運算表：表示有窮集上的一元和二元運算運算表二元運算的運算表一元運算的運算表7例3設S=P({a,b})，S上的?和～運算的運算表如下運算表的實例8二元運算的性質定義9.3設?為S上的二元運算,(1)若對任意x,y∈S有x?y=y?x,則稱運算在S上滿足交換律.(2)若對任意x,y,z∈S有(x?y)?z=x?(y?z),則稱運算在S上滿足結合律.(3)若對任意x∈S有x?x=x,則稱運算在S上滿足冪等律.定

5、義9.4設?和?為S上兩個不同的二元運算,(1)若對任意x,y,z∈S有(x?y)?z=(x?z)?(y?z)，z?(x?y)=(z?x)?(z?y),則稱?運算對?運算滿足分配律.(2)若?和?都可交換,且對任意x,y∈S有x?(x?y)=x，x?(x?y)=x,則稱?和?運算滿足吸收律.9實例Z,Q,R分別為整數、有理數、實數集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n?2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數集，

6、A

7、?2集合運算交換律結合律冪等律Z,Q,R普通加法+普通乘法?有有有有無無Mn(R)矩陣加法+矩陣乘法?有無有有無無P(B)并?交?相對補?對

8、稱差?有有無有有有無有有有無無AA函數復合?無有無10集合運算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+與乘法??對+可分配+對?不分配無Mn(R)矩陣加法+與乘法??對+可分配+對?不分配無P(B)并?與交??對?可分配?對?可分配有交?與對稱差??對?可分配無實例Z,Q,R分別為整數、有理數、實數集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n?2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數集，

9、A

10、?211特異元素：單位元、零元定義9.5設?為S上的二元運算,(1)如果存在el(或er)?S，使得對任意x∈S都有el?x=x(或x?er=x)，則稱el(或er)是S中關于?運

11、算的左(或右)單位元.若e∈S關于?運算既是左單位元又是右單位元，則稱e為S上關于?運算的單位元.單位元也叫做幺元.(2)如果存在?l(或?r)∈S，使得對任意x∈S都有?l?x=?l(或x??r=?r)，則稱?l(或?r)是S中關于?運算的左(或右)零元.若?∈S關于?運算既是左零元又是右零元，則稱?為S上關于運算?的零元.12可逆元素和逆元(3)設?為S上的二元運算,令e為S中關于運算?的單位元.對于x∈S，如果存在yl(或yr)∈S使得yl?x=e（或x?yr=e）則稱yl(或yr)是x的左逆元（或右逆元）.關于?運算，若y∈S既是x的左逆元又是

12、x的右逆元，則稱y為x的逆元.如果x的逆元存在，就稱x是可逆的.13實例集合運算單位元零元逆元