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1、第一章習題解答1.1已知不變線性系統(tǒng)的輸入為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若b?。?）（2），求系統(tǒng)的輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。答：（1）圖形從略，（2）圖形從略。1.2若限帶函數(shù)的傅里葉變換在長度為寬度的矩形之外恒為零，（1）如果，，試證明證明：（2）如果，，還能得出以上結(jié)論嗎？答：不能。因為這時。1.3對一個空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應為試用頻域方法對下面每一個輸入，求其輸出。（必要時，可取合理近似）（1）答：（2）9答：（3）答：（4）答：1.4給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波對下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出。（1）（2）9答：圖解方法是在頻域里進行的，首先要計算輸入函
2、數(shù)的頻譜，并繪成圖形方括號內(nèi)函數(shù)頻譜圖形為：圖1.4（1）圖形為：圖1.4（2）9因為的分辨力太低，上面兩個圖縱坐標的單位相差50倍。兩者相乘時忽略中心五個分量以外的其他分量，因為此時的最大值小于0.04%。故圖解頻譜結(jié)果為：圖1.4（3）傳遞函數(shù)（1）形為：圖1.4（4）因為近似后的輸入函數(shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達式為：其反變換，即輸出函數(shù)為：9該函數(shù)為限制在區(qū)間內(nèi)，平均值為1，周期為3，振幅為1.37的一個余弦函數(shù)與周期為1.5，振幅為0.342的另一個余弦函數(shù)的疊加。傳遞函數(shù)（2）形為：圖1.4（5）此時，輸出函數(shù)僅剩下在及兩個區(qū)間內(nèi)分量，盡管在這兩個區(qū)間內(nèi)
3、輸入函數(shù)的頻譜很小，相對于傳遞函數(shù)（2）在的零值也是不能忽略的，由于可以解得，通過傳遞函數(shù)（2）得到的輸出函數(shù)為：該函數(shù)依然限制在區(qū)間內(nèi)，但其平均值為零，是振幅為0.043，周期為0.75，的一個余弦函數(shù)與振幅為0.027，周期為0.6的另一個余弦函數(shù)的疊加。1.5若對二維函數(shù)抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對具體抽樣方法進行說明。答：9也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a，在y方向抽樣間隔無限制。1.6若只能用表示的有限區(qū)域上的脈沖點陣對函數(shù)進行抽樣，即試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個理想低通濾波器精確恢復。答：因為表示的有限區(qū)域以外的函數(shù)抽樣對精確恢復也有貢獻，不可省
4、略。1.7若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線脈沖”，系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應稱為線響應。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，證明：線響應的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿軸的截面分布。證明：1.8如果一個空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間，之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)，輸出為。證明，存在一個由脈沖的方形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù)，它作為等效輸入，可產(chǎn)生相同的輸出，并請確定。答：為了便于從頻率域分析，分別設：物的空間頻譜；像的空間頻譜；等效物體的空間頻譜；等效物體的像的空間頻譜由于成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數(shù)在9之外恒為零，故可將其記為：、利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示物像之間在頻域中的關系為在頻域
5、中我們構(gòu)造一個連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù)，預期作為等效物的譜，辦法是把安置在平面上成矩形格點分布的每一個點周圍，選擇矩形格點在、方向上的間隔分別為和,以免頻譜混疊，于是（1）對于同一個成像系統(tǒng)，由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限，只能允許的中央一個周期成份（）通過，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即圖1.8用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對和的作用，為簡單計，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在圖中表示為。9圖題1.8既然，成像的頻譜相同，從空間域來看，所成的像場分布也是相同的，即因此，只要求出的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場，即帶入（1）式，并利用卷積定理得到（2）上式也可以從抽樣定理來解釋。9是一個限帶的頻譜函數(shù)，
6、它所對應的空間域的函數(shù)可以通過抽樣，用一個點源的方形陣列來表示，若抽樣的矩形格點的間隔，在方向是，在方向是，就得到等效物場；（3）（4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到利用函數(shù)性質(zhì)（1.8）式，上式可寫為這一點源的方形陣列構(gòu)成的等效物場可以和真實物體產(chǎn)生完全一樣的像.本題利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從頻率域分析物象關系，先找出等效物的頻譜，再通過傅立葉逆變換，求出等效物場的空間分布，這種頻域分析方法是傅立葉光學問題的基本分析方法。9
