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1、%第六章微分方程問題的解法%微分方程的解析解方法%常微分方程問題的數(shù)值解法%微分方程問題算法概述%四階定步長Runge-Kutta算法及MATLAB實現(xiàn)%一階微分方程組的數(shù)值解%微分方程轉換%特殊微分方程的數(shù)值解%邊值問題的計算機求解%偏微分方程的解%6.1微分方程的解析解方法%y=dsolve(f1,f2,…,fm,'x')%symst;u=exp(-5*t)*cos(2*t+1)+5;%uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*u%symsty;%y=dsolve(['D4y+1
2、0*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y='...%'87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10'],'y(0)=3','Dy(0)=2','D2y(0)=0','D3y(0)=0')%[x,y]=dsolve('D2x+2*Dx=x+2*y-exp(-t)',...%'Dy=4*x+3*y+4*exp(-t)')%symstx;%x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)+1')%Warning:Explicitsolutioncoul
3、dnotbefound;implicitsolutionreturned.%>InD:MATLAB6p5toolboxsymbolicdsolve.matline292%x=%t-Int(1/(a-a^3+1),a=``..x)+C1=0%故只有部分非線性微分方程有解析解。%6.2微分方程問題的數(shù)值解法%6.2.1微方程問題算法概述%Euler算法%%function[outx,outy]=MyEuler(fun,x0,xt,y0,PointNum)%fun表示f(x,y);x0,xt:自變量的
4、初值和終值;%y0:函數(shù)在x0處的值,其可以為向量形式;%PointNum表示自變量在[x0,xt]上取的點數(shù)%ifnargin<5
5、PointNum<=0%PointNum默認值為100%PointNum=100;%end%ifnargin<4%y0默認值為0%y0=0;%end%h=(xt-x0)/PointNum;%計算步長h%x=x0+[0:PointNum]'*h;%自變量數(shù)組%y(1,:)=y0(:)';%將輸入存為行向量，輸入為列向量形式%fork=1:PointNum%f=feval(f
6、un,x(k),y(k,:));f=f(:)';%計算f(x,y)在每個迭代點的值%y(k+1,:)=y(k,:)+h*f;%對于所取的點x迭代計算y值%end%outy=y;outx=x;%plot(x,y)%畫出方程解的函數(shù)圖%end%[x1,y1]=MyEuler('myfun',0,2*pi,1,16);%myfun=incline'Dy=sin(x)+y'%function[Xout,Yout]=MyEulerPro(fun,x0,xt,y0,PointNumber)%%MyEulerPro用
7、改進的歐拉法解微分方程%ifnargin<5
8、PointNumber<=0%%PointNumer默認值為100%PointNumer=100;%end%ifnargin<4%y0默認值為0%y0=0;%end%h=(xt-x0)/PointNumber;%%計算所取的兩離%散點之間的距離%x=x0+[0:PointNumber]'*h;%%表示出離散的自變量x%y(1,:)=y0(:)';%fori=1:PointNumber%迭代計算過程%f1=h*feval(fun,x(i),y(i,:));f1
9、=f1(:)';%f2=h*feval(fun,x(i+1),y(i,:)+f1);f2=f2(:)';%y(i+1,:)=y(i,:)+1/2*(f1+f2);%end%Xout=x;Yout=y;%6.2.2四階定步長Runge-Kutta算法及MATLAB實現(xiàn)%6.2.3一階微分方程組的數(shù)值解%6.2.3.1四階五級Runge-Kutta-Felhberg算法%6.2.3.2基于MATLAB的微分方程%求解函數(shù)%格式1：直接求解%[t,x]=ode45(Fun,[t0,tf],x0)%格式2：帶有
10、控制參數(shù)%[t,x]=ode45(Fun,[t0,tf],x0，options)%格式3：帶有附加參數(shù)%[t,x]=ode45(Fun,[t0,tf],x0,options,p1,p2,…)%[t0,tf]求解區(qū)間，x0初值問題的初始狀態(tài)變量。%描述需要求解的微分方程組：%不需附加變量的格式%functionxd=funname(t,x)%可以使用附加變量%functionxd=funname(t,x,flag,p1,p2,…)%t是時間變
