全等三角形的證明技巧與方法.doc

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1、1、如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC。（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P為線段BC上的一點(diǎn)（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求△BPN的周長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法三角形輔助線做法圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添

2、。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”．2)遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常

3、是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．4)過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答．一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=

4、5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.本題的關(guān)鍵是如何把AB,AC,AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形當(dāng)中.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié):見(jiàn)中線,延長(zhǎng)加倍.】例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三

5、角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2、如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;AB＝AC+BD3、如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,A

6、D＝CD，BD平分，求證：25．（12分）（2014?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求A、B、C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積；（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ．過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作

7、y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG=2DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．三、平移變換例1.AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為，△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.例2如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD在AC上取點(diǎn)F，使AF=AE2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E

8、，DF⊥AC于F.（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).五、旋轉(zhuǎn)例1。正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).例2.D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1）當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。例3。如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形