資源描述：
《旋轉(zhuǎn)法的妙用.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、巧用旋轉(zhuǎn)法解幾何題將一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的連線所組成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)法是在圖形具有公共端點的相等的線段特征時，可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點，旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法，主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中?，F(xiàn)就旋轉(zhuǎn)法在幾何證題中的應(yīng)用舉例加以說明，供同學(xué)們參考。例1．如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中點，E，F(xiàn)分別AC和BC上，且DE⊥DF，求證：EF2=AE2+BF2分析：從所
2、證的結(jié)論來看，令人聯(lián)想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三條線段不在同一個三角形中，由于D是中點，我們可以考慮以D為旋轉(zhuǎn)中心，將BF旋轉(zhuǎn)到和AE相鄰的位置，構(gòu)造一個直角三角形，問題便迎刃而解。證明：延長FD到G，使DG=DF，連接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如圖2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠
3、BPC的度數(shù).分析：題目已知條件中給出了三條線段的長度和一個直角，但已知的三條線段不在同一三角形中，故可考慮通過旋轉(zhuǎn)變換移至一個三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角頂點C為旋轉(zhuǎn)中心。解：作MC⊥CP，使MC=CP，連接PM，BM∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC，∴⊿CAP≌⊿CBM（SAS）∴MB=AP=3∵PC=MC，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM====2，在⊿MPB中，PB2+PM2=（2）2+12=9=BM2∴⊿MPB是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如圖3，直角三角形A
4、BC中，AB=AC，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求證：EF2=BE2+CF2分析：本題求證的結(jié)論和例1十分相似，無法直接用勾股定理，可通過旋轉(zhuǎn)變換將BE，CF轉(zhuǎn)移到同一個直角三角形中，由于⊿BAC是等腰直角三角形，不妨以A為旋轉(zhuǎn)中心，將∠BAE和∠CAF合在一起，取零為整。A證明：過A作AP⊥AE交BC的垂線CP于P，連結(jié)PF∵∠EAP=90°，∠EAF=45°∴∠PAF=45°∵∠BAC=90°∴∠BAE=∠PAC∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠ACP=45°∴⊿ABE≌⊿ACP（ASA）∴PC=AE，，AP=AE∴⊿AEF≌⊿APF（SAS）∴EF=PF故在Rt
5、⊿PCF中，PF2=CF2+PC2,即EF2=CF2+AE2例4，如圖4，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，DC上，且∠EBF=45°，BM⊥EF于M，求證：BA=BM分析:本題與例3相同之處在于直角三角形家夾有45°角，可利用相同的方法，將∠ABE和∠CBF“化散為整”來構(gòu)造全等三角形。證明：延長FC到N，使CN=AE，連結(jié)BN∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AC，∠BAC=90°∵∠EBF=45°∴∠ABE+∠CBF=45°由⊿ABE≌⊿CBN知BE=BN，∠CBN=∠ABE∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF又BE=BN，BF=BF∴⊿EBF≌⊿NBF（
6、SAS）∴BM=BC∴BM=BA例5、如圖6，五邊形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°。求證：∠ADE＝∠ADC。解析：條件中有共點且相等的邊AE和AB，可將△ADE以點A為中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)∠BAE的角度到△AFB的位置，如圖7。這就使已知條件∠ABC＋∠AED＝180°和BC＋DE＝CD通過轉(zhuǎn)化得到集中，使解題思路進一步明朗。由△ADE≌△AFB，得∠AED＝∠ABF，∠ADE＝∠AFB，ED＝BF，AF＝AD。由∠ABC＋∠AED＝180°，得∠ABC＋∠ABF＝180°。所以C、B、F三點共線。又CD＝BC＋DE＝BC＋BF＝C
7、F，故∠CFD＝∠CDF。由AF＝AD，得到∠DFA＝∠FDA?！唷螦DE＝∠AFB＝∠CFD＋∠DFA＝∠CDF＋∠FDA＝∠ADC。例6、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一個點，PA=2，PB=，PC=4，求△ABC的邊長。分析：PA、PB、PC比較分散，可利用旋轉(zhuǎn)將PA、PB、PC放在一個三角形中，為此可將△BPA繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°可得△BHC。解：把△BPA繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BHC。因為BP=BH，∠PBH=60°所以△BPH是等邊三角形所以∠BPH=60°，所以BP=PH又
