安徽省皖中名校聯(lián)盟2023-2024學年高三上學期第五次聯(lián)考數(shù)學 Word版含解析.docx

《安徽省皖中名校聯(lián)盟2023-2024學年高三上學期第五次聯(lián)考數(shù)學 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

皖中名校聯(lián)盟2023-2024學年（上）高三第五次聯(lián)考數(shù)學試題注意事項:1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分別求出集合，由此求出.【詳解】解一元二次不等式，得，故，由于二次根式要求，則，所以.故選：A．2.在等差數(shù)列中，若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】根據給定條件，利用等差數(shù)列下標和性質計算即得.【分析】在等差數(shù)列中，，而，因此， 所以.故選：B3.若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】根據一元二次方程復數(shù)根的特點及韋達定理即可求出、，再由復數(shù)的運算和共軛復數(shù)可得結果．【分析】若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則另一個復數(shù)根為，由韋達定理可得得，解得，則，所以，故有.故選：A．4.已知向量，，且與的夾角余弦值為，則（）A.或B.或C.D.或【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積運算性質、向量夾角公式即可得出．【詳解】，，，顯然， 故有：，解得或．故選：B．5.設是等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的前項和公式得出等差數(shù)列的基本量，計算可得結果．【詳解】記等差數(shù)列的公差為，由可得，整理得；因為，，即；整理可得，聯(lián)立可得，，故；故選：A．6.已知函數(shù)，在區(qū)間上單調遞減，則正實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】利用復合函數(shù)的單調性，結合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調性即可得解.【分析】根據題意，函數(shù)，令，由正實數(shù)知，函數(shù)單調遞減，因為在區(qū)間上單調遞減，則單調遞增且， 所以，解得：，故的取值范圍是故選：C.7.戰(zhàn)國時期成書經說記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”這是中國古代人民首次對平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧在平面直角坐標系中，一條光線從點射出，經軸反射后與圓相交所得弦長為，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】直接利用直線與圓的位置關系求出結果．【詳解】根據題意，設與點關于軸對稱，則的坐標為，則反射光線經過點，且與圓相交．設反射光線所在直線的方程為，即，圓的標準方程為，則圓心為，半徑．因為弦長，所以根據勾股定理得，圓心到反射光線距離，故，即，解得或．故選：A8.已知是三角形的一個內角，滿足，則（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式,可求的值，進而利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡，即可計算得解．【詳解】因為，兩邊平方得，即，可得，因為是三角形的一個內角，且，所以，所以，得，又因為，，聯(lián)立解得：，，故有：，從而有．故選：B．二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9設正實數(shù)滿足，則（）A.B.C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據題意，利用二次函數(shù)性質和基本不等式，分別判斷各個選項的對錯，即可得結果．【詳解】對于A中，取，，此時，所以A不正確；對于B中，由，當且僅當時，等號成立，所以B正確； 對于C中，由，因為，所以當，時，取得最小值，所以C正確；對于D中，由，當且僅當，即時，等號成立，所以D正確.故選：BCD.10.已知直線經過點，且一個法向量為，若點，到的距離相等，則實數(shù)的可能值為（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】分直線和直線與直線相交兩種情況求解即可．【詳解】由直線經過點，且一個法向量為，可得，當直線時，則，即；當直線與直線相交時，則，在直線的兩側，則，解得或．故選：AC．11.若函數(shù)，則（）A.B.有兩個極值點C.曲線切線的斜率可以為D.點是曲線的對稱中心【答案】BD【解析】【分析】A項，求導賦值可得；B項，利用導函數(shù)研究單調性再求極值；C項，研究導函數(shù)值域即可；D項，證明.【詳解】選項A，由題意得，所以，解得，A錯誤； 選項B，由，則，，由得，或，則當或時，；當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，則當時，有極大值；當時，有極小值.所以有兩個極值點，B正確；選項C，，所以曲線的切線的斜率不可能為，C錯誤；選項D，因為,所以點是曲線的對稱中心，D正確.故選：BD.12.如圖，已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點E，點F為棱CD的中點，則（）A.，E，O三點共線B.三棱錐的外接球的表面積為C.直線與平面所成的角為D.過點，B，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ABD【解析】 【分析】由題意可證得三點都在平面與平面的交線上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則直線與平面所成的角為，根據余弦定理，求解可判斷C；取的中點，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.【詳解】因為為底面ABCD的中心，所以為BD和AC的中點，則，因為平面平面，所以平面平面，所以點是平面與平面的公共點；顯然是平面與平面的公共點；因為交平面于點平面，所以也是平面與平面的公共點，所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故A正確；三棱錐的外接球和正方體是同一個外接球，棱長為1，所以，所以外接球的表面積，故B正確；因為平面平面ABCD，所以，又平面，所以平面，平面所以平面平面，平面平面，所以在平面的射影為，即直線與平面所成的角為， ，，，,故C錯誤；取的中點，連，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，如圖：因為，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.寫出同時滿足下列條件的函數(shù)的一個解析式__________.．【答案】答案不唯一【解析】【詳解】分析題中兩個條件得到的性質，從而得解.【分析】因為，故函數(shù)是上的偶函數(shù)，又因為，故， 因此函數(shù)是周期為的函數(shù)，故滿足以上條件的一個函數(shù)為．故答案為：（答案不唯一）.14.現(xiàn)有甲乙兩個形狀完全相同的正四棱臺容器如圖所示，已知，，現(xiàn)按一定的速度勻速往甲容器里注水，當水的高度是正四棱臺高度的一半時用時分鐘，如果按照相同的速度勻速往乙容器里注水，當水的高度是正四棱臺高度的一半時用時__________分鐘．【答案】【解析】【詳解】利用臺體的體積公式，結合題意求得水流速度，再求出乙容器中水的容積，由此得解.【分析】設正四棱臺的高為，由，正四棱臺的中截面是邊長為的正方形，當水的高度是四棱臺高度的一半時，甲容器內水的容積為，設水流速度為，則，，當乙容器中水的高度是四棱臺高度的一半時，水的容積為，所以當水的高度是四棱臺高度的一半時用時為分鐘.故答案為：.15.《九章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面分別為棱，上一點，則的最小值為______. 【答案】【解析】【分析】根據題意，求得，作出將沿著轉動到四點共面的平面圖形，利用兩角和的正弦公式得，進而求解即可.【詳解】因為平面平面，所以，又平面，所以平面，平面，則.因為平面平面，所以，則，所以，如圖，將沿著轉動到四點共面，此時過作于，則的最小值為故答案為：. 16.已知，，，且，是函數(shù)的兩個零點，，若函數(shù)在區(qū)間上至少有個零點，則實數(shù)的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】先利用平面向量的數(shù)量積運算與三角恒等變換化簡，再由的零點求得的值，進而得到，結合正弦函數(shù)的圖象和性質即可得解.【詳解】因為，，，所以，令，即，故當，是的兩個零點時，為的一個周期，即，解得，故有，令，則，令，因為在區(qū)間上至少有個零點，則在區(qū)間上至少有個不等根，即與在區(qū)間上至少有個交點，其中，， 由圖可知，即，，的最小值為.故答案為：．【點睛】結論點睛：函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點的橫坐標方程的根函數(shù)與的交點的橫坐標.四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知正項等差數(shù)列的前n項和為成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據等差數(shù)列的前n項和公式以及等比中項的性質，利用基本量法即可求出，從而得出通項公式；（2）利用第（1）小問求出，再由錯位相減法進行數(shù)列求和即可得出結論.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，所以,因為成等比數(shù)列， 所以，得或.因為此數(shù)列各項均為正，所以得.【小問2詳解】，所以，所以，兩個等式相減得,，所以,所以.18.已知內角所對的邊分別為，B.（1）求角的大?。唬?）若，的角平分線交于點，求線段長度的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將??化成??，然后結合正弦定理求解；（2）運用等面積法先表示出??，然后結合余弦定理以及基本不等式求解線段??長度的最大值．【小問1詳解】， 由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，，，即，又，．【小問2詳解】因為，，所以由余弦定理得，即，所以，即當且僅當時，等號成立，因為，所以，解得，因為當且僅當時，等號成立，所以當且僅當時，等號成立，所以長度的最大值為．19.已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析；，（2）【解析】【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據題意求得和，得到，得到 ，再由，得到為等比數(shù)列，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得到，結合分組求和，即可求解.【小問1詳解】解：依題意，設數(shù)列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，所以，即．所以，所以，又因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．【小問2詳解】解：由（1）知，，可得，所以．20.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）證明：當時，.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，根據的符號分類討論研究函數(shù)的單調性；（2）原不等式等價于，等價于證明，構造函數(shù) ，求導研究函數(shù)單調性，求解最大值即可證明.【小問1詳解】因為，所以，當時，，所以的單調減區(qū)間是，當時，.令得，令得，所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）可得，當時，取得極大值，也是最大值，所以.設，則，令得，令得，所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，所以，即.因為，所以，所以，所以，所以命題得證.21.已知半徑為的圓的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．（1）求圓的標準方程；（2）若的坐標為，過點作圓的兩條切線，切點分別為，求直線的方程；（3）過點任作一條不與軸垂直的直線與圓相交于兩點，在非正半軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在滿足條件，且坐標為【解析】【分析】（1）根據點到直線的距離，結合待定系數(shù)法即可求解圓心，（2）根據四點共圓可得圓 方程，進而可得公共弦的直線方程，或者利用向量垂直的坐標關系可得切線方程，進而可得直線方程，（3）根據斜率和為0，結合斜率公式以及韋達定理即可化簡求解.【小問1詳解】設圓心的坐標為，則圓的方程為，因為直線與圓相切，所以點到直線的距離，因為，所以，所以圓的標準方程為；【小問2詳解】法1：由條件可知四點共圓，且直徑，記為圓，則,半徑，所以圓的方程為，因為圓的方程為，兩圓方程相減可得，所以直線的方程為；法2：設，設直線上任意不同于點的點為，根據,可得切線的方程為，因為在直線上，所以，同理，從而直線的方程為，即；【小問3詳解】設存在點滿足條件，由題可設直線，，由，得，∵點圓內部，∴恒成立，則， 因為，所以，即，即是，整理得，從而，化簡有，因為對任意的都要成立，所以，由此可得假設成立，存在滿足條件的，且坐標為．22.如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，．（1）證明：平面；（2）在線段（不含端點）上是否存在一點E，使得二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）先由面面垂直的性質證得平面，從而求得，進而利用勾股定理證得，由此利用線面垂直的性質即可得證；（2）結合（1）中條件，建議空間直角坐標系，分別求得平面與平面的法向量，從而得到關于的方程，解之即可得解. 【小問1詳解】正方形中，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，，又，，∴，又∵，∴，∴，又，∴，又，平面，∴平面.【小問2詳解】假設存在點，滿足題意，由（1）知，平面，，故以B為坐標原點，BA，BM，BC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設點，，∴，∴，∴，∴，，設平面的法向量為，∴，令，∴，，∴，由（1）知平面的法向量為， ∴，即，即，即，解得或（舍去），