安徽省皖中名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第四次聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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皖中名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年（上）高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題可得，然后利用交集的概念即得.【詳解】由可得，即，所以．故選：C．2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.B.5C.D.20【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法計算出復(fù)數(shù)z，再利用模長公式求. 【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．3.若角的終邊上有一點(diǎn)，且，則（）A.4B.C.-1D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)公式，即可得到本題答案.【詳解】由已知，得，解得.因?yàn)?，所以，則.故選：C4.已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，且與所成的角和與所成的角相等，則【答案】C【解析】【分析】利用線面的位置關(guān)系，結(jié)合空間想象即可得解.【詳解】若，，，則與有可能平行，故A錯誤；若，，則可能在內(nèi)，故B錯誤；若，，則，又，則，故C正確；若，且與所成的角和與所成的角相等，則與有可能相交，故D錯誤.故選：C. 5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別證明充分性和必要性，即可得到本題答案.【詳解】①當(dāng)時，滿足“”，但不滿足“”，所以“”不能推出“”，故充分性不成立；②由，解得，因“”可以推出“”，故必要性成立.綜上，可知“”是“”的必要不充分條件.故選：B6.糧食是關(guān)系國計民生的重要戰(zhàn)略物資如圖為儲備水稻的糧倉，中間部分可近似看作是圓柱，圓柱的底面直徑為，上、下兩部分可以近似看作是完全相同的圓錐，圓柱的高是圓錐高的4倍，且這兩個圓錐的頂點(diǎn)相距，每立方米的空間大約可裝噸的水稻，則該糧倉最多可裝水稻（）A.噸B.噸C.噸D.噸【答案】A【解析】【分析】利用圓錐、圓柱體積公式求出該組合體體積，即可求得答案.【詳解】由題這兩個圓錐的頂點(diǎn)相距，圓柱的高是圓錐高的4倍，設(shè)圓錐高為，則，所以圓柱體積，兩個圓錐體積， 所以該組合體體積，所以該糧倉最多可裝水稻噸.故選：A7.鎮(zhèn)國寺塔亦稱西塔，是一座方形七層樓閣式磚塔，頂端塔剎為一青銅鑄葫蘆，葫蘆表面刻有“風(fēng)調(diào)雨順?國泰民安”八個字，是全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位?國家3A級旅游景區(qū)，小胡同學(xué)想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高為7.5，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N在同一水平面上且三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角分別為15°和60°，在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部M的仰角為30°，則鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知，在中應(yīng)用正弦定理得，再由倍角余弦公式求，進(jìn)而求鎮(zhèn)國寺塔的高度.【詳解】在中，則，所以，而，，所以，又，則.故選：C8.已知函數(shù)有兩條與直線平行的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則的取值范圍是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在兩點(diǎn)處的切線斜率，即可得出是的兩根，利用韋達(dá)定理即可得出的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知的定義域?yàn)?，所以，易得，由?dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)為時，切線斜率為,同理可得，點(diǎn)處切線斜率為；又因?yàn)閮蓷l切線與直線平行，可得，即所以是關(guān)于方程的兩根，所以，即，又可得；所以，由可得即，所以的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線平行的位置關(guān)系得出關(guān)于的等量關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)定義域和韋達(dá)定理即可求得表達(dá)式的取值范圍.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（） A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡得到，然后根據(jù)判斷A選項(xiàng)；利用整體代入得方法得到對稱軸，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)圖象的平移變換判斷C選項(xiàng)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷D選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，當(dāng)時，，故B正確；由的圖象向左平移個單位長度，得，故C正確．因?yàn)椋瘮?shù)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選：ABC．10.若實(shí)數(shù)滿足，則（）AB.C.D.【答案】BD【解析】【分析】代值計算判斷選項(xiàng)A；根據(jù)同正不等式偶數(shù)次符號不變判斷B；當(dāng)當(dāng)時，因?yàn)?，所以與都是負(fù)數(shù)，相加依然是負(fù)數(shù)判斷C；，根據(jù)已知結(jié)合不等式運(yùn)算得出，即可判斷D.【詳解】當(dāng)時，，故A錯誤；因?yàn)椋?，所以，故B正確；當(dāng)時，因?yàn)?，所以與都是負(fù)數(shù)，所以，故C錯誤；因?yàn)?，?dāng)時，由得，兩邊同乘，得，即；當(dāng)時，由得，兩邊同乘，得，即，所以，故D正確.故選：BD.11.正方體的棱長為是正方形的中心，為線段上一動點(diǎn)，則（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.不存在點(diǎn)使得平面D.三棱錐的體積為定值【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)得到，A正確，確定是異面直線與直線所成角，計算得到B正確，當(dāng)時，平面，C錯誤，根據(jù)等體積法計算得到D 正確，得到答案.【詳解】對于選項(xiàng)A：在中，是的中點(diǎn)，故，正確；對于選項(xiàng)B：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線與直線所成角（或其補(bǔ)角），在中，，所以，正確；對于選項(xiàng)C：根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于平面，所以平面平面，當(dāng)時，平面，所以平面，即存在點(diǎn)使得平面，錯誤；對于選項(xiàng)D：，正確.故選：ABD.12.已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，若是奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱B.C.是奇函數(shù)D.與關(guān)于原點(diǎn)對稱 【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)和函數(shù)對稱性的定義可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的周期性可判斷B選項(xiàng)；利用奇函數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用對稱性定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得2，所以圖象關(guān)于對稱，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C，，故C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以與關(guān)于軸對稱，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D錯誤.故選：ABC.第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知向量滿足，與的夾角為，則___．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解作答.【詳解】由，與的夾角為，得，所以.故答案為：214.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大西洋鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M表示魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條大西洋鮭魚的耗氧量的單位數(shù)是其靜止時耗氧量的單位數(shù)的倍時，它的游速是______.【答案】##【解析】 【分析】設(shè)大西洋鮭魚靜止時的耗氧量為，計算出的值，再將代入，即可得解.【詳解】設(shè)大西洋鮭魚靜止時的耗氧量為，則，可得，將代入可得，.故答案為：.15.已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差關(guān)系，表示出即可求出其取值范圍.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，由，所以，則，所以的取值范圍是.故答案為：16.已知，設(shè)的解集為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】先利用得出的單調(diào)性，再結(jié)合圖像特點(diǎn)，可判斷出存在，使得，根據(jù)，得出，分別求出、，令，再利用判斷的單調(diào)性，確定m的范圍，進(jìn)而求出a的取值范圍.【詳解】， 設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，又時，，，所以存在，使得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，又當(dāng)和時，，所以存在，使得，因，所以，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，易知，又，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題，屬難題.四、解答題（本大題共6小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值再根據(jù)角的范圍判斷符號即可；（2）先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?所以，即.因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，所?【小問2詳解】由解得，，所以；所以.18.設(shè)且，函數(shù)，且為奇函數(shù)．（1）求a；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義結(jié)合條件即得；（2）由題可得，然后通過換元法可得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.【小問1詳解】因?yàn)?，且為奇函?shù)所以，即， 所以，解得，又，故．【小問2詳解】由（1）知，所以，令，則，所以，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以當(dāng)取得最小值，即時，的最小值為．19.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定單調(diào)性進(jìn)而求出最小值即可；（2）先移向構(gòu)造新函數(shù)，再分類討論求a的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，由得；由得. 當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以.【小問2詳解】設(shè)，則，，令，則，令，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以.①當(dāng)時，，則，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以，即對任意的恒成立；②當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?dāng)時，，此時存在，使得，且當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以，不合題意；③當(dāng)時，，因?yàn)椋?，由于函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故存在，使得當(dāng)時，，此時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增， 所以，不滿足題意.綜上所述，若對任意的恒成立，則的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分類討論反例否定法得出矛盾排出和.20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（且）．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用（）化簡題中條件，可得列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求得，再根據(jù)（），即可求解；（2）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，即，解得．因?yàn)椋ǎ?，所以（），又（，），，所以（），又，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 【小問2詳解】由（1）知，所以，所以，所以，所以．21.如圖，在平面四邊形中，．（1）若，求的長；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，應(yīng)用正弦定理求得，進(jìn)而可得，進(jìn)而有，在應(yīng)用正弦定理求；（2）由及，再結(jié)合正弦定理求.【小問1詳解】在中，整理得， 所以，故，又，在中，又，所以，故.【小問2詳解】由，由，而，故，故，所以，所以，即，則，在中，則.22.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面底面ABCD，M是PD的中點(diǎn). （1）求證：平面PCD；（2）求平面BPD與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)面面垂直證線面垂直，得平面，再得線線垂直，再根據(jù)正三角形三線合一證，最后由線面垂直的判定，證得平面PCD；（2）建系，用空間向量坐標(biāo)計算面面夾角的余弦值即可.【小問1詳解】證明：在正方形中，，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，所以，又，，平面，所以平面.【小問2詳解】取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則由得取，則， 由（1）知平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.