四川省廣安市華鎣中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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四川省華鎣中學(xué)2025屆2024年春開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則公差為（）A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以，，解得：，，故選：C.2.直線的傾斜角大?。ǎ〢.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化簡得到，根據(jù)計算得到答案.【詳解】直線，即，，，故.故選：.【點睛】本題考查了直線的傾斜角，意在考查學(xué)生的計算能力.3.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由橢圓的離心率和長軸長，結(jié)合可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓方程為：，故選：A.4.已知空間三點，，，在直線上有一點滿足，則點的坐標(biāo)為()AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算得到的坐標(biāo)，利用垂直的向量滿足數(shù)量積為0進(jìn)行運(yùn)算，求解即可．【詳解】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），∴（﹣1，1，0），且點H在直線OA上，可設(shè)H（﹣λ，λ，0），則（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又BH⊥OA，∴?0，即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）?（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ，∴點H（，，0）．故選B．【點睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問題，注意共線向量的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題．5.已知圓，則，則圓M與圓N的公切線條數(shù)是（） A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】求出兩圓圓心之間的距離，與半徑之和、半徑之差作比較可得出答案.【詳解】圓，即表示以為圓心，半徑等于2的圓，圓，表示以為圓心，半徑等于1的的圓，兩圓圓心的距離等于，小于兩圓半徑之和3，大于兩圓半徑之差的絕對值，故兩圓相交，圓M與圓N的公切線條數(shù)為2，故選：B.【點睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，考查公切線的條數(shù).6.已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出與夾角的余弦值，即可得出夾角大小.【詳解】記向量與向量的夾角為，在上的投影為.在上的投影為，，，.故選：B.7.如圖，在中，是的中點，若，則實數(shù)的值是 A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】以作為基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【詳解】∵分別是的中點，∴.又，∴.故選C.【點睛】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．8.曲線的方程為，若直線的曲線有公共點，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程的幾何意義可得曲線為線段，根據(jù)動點過定點結(jié)合斜率公式可求的取值范圍.【詳解】曲線C即為平面上到兩個定點的距離的和等于定長的點的軌跡，但兩個定點的距離為，故曲線C的軌跡為線段，而直線即，它是過定點，斜率為直線，要使直線與線段有公共點，即需故選：A.二?多選題：本題共4小題，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求． 9.已知是橢圓上一點，是左?右焦點，下列選項中正確的是（）A.橢圓的焦距為2B.橢圓的離心率C.D.的面積的最大值是2【答案】BCD【解析】【分析】對于ABC，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再利用橢圓的定義與性質(zhì)即可判斷；對于D，由橢圓的幾何性質(zhì)與的面積公式即可判斷．【詳解】對于A，因為橢圓，所以知，所以橢圓的焦距為，故A錯誤；對于B，橢圓的離心率為，故B正確；對于C，由橢圓的定義可得，故C正確；對于D，設(shè)，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，所以，即的面積的最大值是2，故D正確.故選：BCD．10.已知直線與圓，則（）A.直線與圓C相離B.直線與圓C相交C.圓C上到直線的距離為1的點共有2個D.圓C上到直線的距離為1的點共有3個【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷.【詳解】由圓，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為， 圓心到直線的距離，所以可知選項B，D正確，選項A，C錯誤.故選：BD11.如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（）A.點的坐標(biāo)為，5，B.點關(guān)于點對稱的點為，8，C.點關(guān)于直線對稱的點為，5，D.點關(guān)于平面對稱的點為，5，【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據(jù)圖示分析即可；對B，設(shè)點關(guān)于點對稱的點為，再根據(jù)為的中點列式求解即可；對C，根據(jù)四邊形為正方形判斷即可；對D，根據(jù)平面求解即可【詳解】對A，由圖可得，的坐標(biāo)為，5，，故A正確；對B，由圖，，，設(shè)點關(guān)于點對稱的點為則，解得，故，故B錯誤；對C，在長方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分， 即點關(guān)于直線對稱的點為，選項C正確；對D，因為平面，故點關(guān)于平面對稱的點為，即，選項D正確；故選：ACD.12.對于公差為1的等差數(shù)列{an}，a1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，b1＝2，則下列說法正確的是（　?。〢.an＝nB.bn＝2n﹣1C.數(shù)列{lnbn}為等差數(shù)列D.數(shù)列{anbn}的前n項和為（n﹣1）2n+1+2【答案】ACD【解析】【分析】由等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，可判斷A、B、C選項；由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可判斷D選項．【詳解】由公差為1的等差數(shù)列{an}，a1＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，故A正確；由公比為2的等比數(shù)列{bn}，b1＝2，可得bn＝2×2n﹣1＝2n，故B錯誤；由lnbn＝ln2n＝nln2，可得數(shù)列{lnbn}是首項和公差均為ln2的等差數(shù)列，故C正確；設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Sn，Sn＝1×2+2×22+...+n×2n，2Sn＝1×22+2×23+...+n×2n+1，上面兩式相減可得﹣Sn＝2+22+...+2n﹣n×2n+1n×2n+1，所以Sn＝2+（n﹣1）×2n+1，故D正確．故選：ACD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線，若，則與的距離為_______.【答案】【解析】【分析】由求得的值，再根據(jù)兩平行線間的距離計算即可.【詳解】解：直線， 當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，與重合，不滿足題意；當(dāng)時，，此時；所以，與的距離為故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，若四點共面，則________.【答案】8【解析】【分析】利用四點共面，則存在實數(shù)使得，解出t.【詳解】四點共面，則存在實數(shù)使得，代入向量的坐標(biāo)得故答案為：15.某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為________．【答案】【解析】【詳解】分析：先確定總基本事件數(shù)，再從中確定滿足條件的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概率為點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序” 區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法（理科）：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.16.已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，且在第一象限交于點，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出，由此能求出的最小值．【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，，可得，得，即，可得，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，上式取得等號，可得的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運(yùn)用．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球．求：（1）樣本空間的樣本點的總數(shù)；（2）事件“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數(shù)；（3）摸出2個黑球的概率．【答案】（1）6（2）3（3）【解析】【分析】先將黑球編號，列舉后寫出樣本點數(shù)目，再利用古典概型概率公式求解概率即可.【小問1詳解】由于4個球大小相等，摸出每個球的可能性是均等的，且試驗的結(jié)果是有限個，所以是古典概型．(1)將黑球編號為黑1，黑2，黑3，從裝有4個球的口袋內(nèi)摸出2個球，樣本空間Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6個樣本點．【小問2詳解】事件“摸出2個黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，共3個樣本點．【小問3詳解】樣本點總數(shù)，事件“摸出兩個黑球”包含的樣本點個數(shù)， 故，即摸出2個黑球的概率為.18.在平行六面體中，，.M為的中點，若.（1）用基底表示向量；（2）求向量的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的運(yùn)算求得.（2）先用基底表示向量，然后利用平方的方法求得向量的長度.【小問1詳解】由題意可得，故.小問2詳解】由條件得， ，故.19.已知等差數(shù)列的前項和為.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列通項公式及等差數(shù)列前項和公式計算即可.（2）運(yùn)用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，所以，即.【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以.20.已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. （2）求直線：與圓相交的弦長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，應(yīng)用點線距離公式求圓心坐標(biāo)，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關(guān)系求弦長即可.【詳解】（1）令圓心為且，∴由圓與相切，有，即可得.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知：，，∴到直線的距離為，∴直線與圓相交的弦長為.21.如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行； (Ⅱ)分別求得直線CE方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關(guān)于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【詳解】依題意，可以建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得.設(shè)，則.(Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面.(Ⅱ)依題意，，設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為. (Ⅲ)設(shè)為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗，符合題意?所以，線段的長為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.22.已知拋物線C；過點．求拋物線C的方程；過點的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點均與點A不重合，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為，，求證：為定值．【答案】（1）．（2）見解析．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點P（3，﹣1）的直線MN的方程為，代入y2=x利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，化簡，即可求k1?k2的值．【詳解】（1）由題意得，所以拋物線方程為．（2）設(shè)，，直線MN的方程為，代入拋物線方程得． 所以，，．所以,所以，是定值．【點睛】求定值問題常見的方法①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．