浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023學(xué)年高一年級第一學(xué)期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)特征得到不等式，求出定義域.【詳解】由題意得，解得，故定義域為.故選：B2.已知集合，，則（???????）A.B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】由元素與集合關(guān)系分類討論，結(jié)合元素的互異性判斷即可.【詳解】∵，∴或．若，解得或．當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去； 當(dāng)時，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．3.已知命題若，則，則命題的否定為（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題得解.【詳解】由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題得：命題：”若，則“的否定是：”若，則“.故選：B4.下列關(guān)于的關(guān)系式中，可以表示為的函數(shù)關(guān)系式的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依次判斷每個選項是否滿足函數(shù)關(guān)系式得到答案.【詳解】A.，當(dāng)時，，不滿足函數(shù)關(guān)系式；B.，當(dāng)時，，不滿足函數(shù)關(guān)系式；C.，當(dāng)時，，不滿足函數(shù)關(guān)系式；D.，，滿足函數(shù)關(guān)系式.故選【點睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，通過特殊值排除選項可以快速得到答案.5.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖像可能是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)和一次函數(shù)的圖像特征，對四個選項一一判斷.【詳解】對于A：由冪函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出，而由一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限可以判斷出.矛盾.故A錯誤；對于B：由冪函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出，而由一次函數(shù)經(jīng)過二、四象限可以判斷出，所以，所以直線與y軸的交點應(yīng)該在x軸上方，矛盾.故B錯誤；對于C：由冪函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出，而由一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限可以判斷出，所以，所以直線與y軸的交點應(yīng)該在x軸下方，符合題意.故C正確；對于D：由冪函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出，而由一次函數(shù)經(jīng)過二、四象限可以判斷出，矛盾.故D錯誤.故選：C6.如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，M是CD的中點，當(dāng)點P沿運動時，點P經(jīng)過的路程x與的面積y的函數(shù)的圖象的形狀大致是（　?。〢.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】先分點P在AB上時，點P在BC上時，點P在CD上時求得函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)來判斷．【詳解】點P在AB上時,；點P在BC上時，；點P在CD上時，；所以畫出分段函數(shù)的大致圖象，如圖所示．故選：A．7.如果，那么（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)得單調(diào)性求解即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以，所以根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，而根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以. 故選：C.8.設(shè)，，則（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】變形得到和，構(gòu)造，由函數(shù)單調(diào)性得到，求出答案.【詳解】由題意得，方程兩邊同除以得，，同理同時除以得，，即，設(shè)，則，，因為在R上單調(diào)遞增，故，所以.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.下列四個命題，其中不正確命題的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則在上是增函數(shù)B.函數(shù)的零點是、C.設(shè)、，則“，”是“”充分不必要條件D.和表示同一個函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】取可判斷A選項；利用零點的定義可判斷B選項；利用充分條件、必要條件的定義可判斷C選項；利用函數(shù)相等的概念可判斷D選項. 【詳解】對于A選項，取，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在上不是增函數(shù)，A錯；對于B選項，解方程得，，所以，函數(shù)的零點是、，B錯；對于C選項，設(shè)、，當(dāng)且時，，即“，”“”，取，則，但“，”不成立，所以，“，”“”，所以，“，”是“”充分不必要條件，C對；對于D選項，函數(shù)和的定義域都為，但，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，故函數(shù)和不是同一函數(shù)，D錯.故選：ABD10.對于實數(shù)a，b，c下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)和賦值法逐項判斷即可.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，，則，故B正確；對于C，若，則，所以，所以，即，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤；故選：ABC11.已知a，b為正實數(shù)，滿足，則下列判斷中正確的是（）A.有最小值B.有最小值C.函數(shù)的最小值為1D.有最大位【答案】AD【解析】【分析】直接利用基本不等式即可判斷A；先求得，再利用基本不等式求得其最大值，進而即可判斷B；先求得，再利用基本不等式求得其最小值，注意等號取不到，進而即可判斷C；先令，得到，再根據(jù)“1”的妙用得到，再結(jié)合基本不等式求得的最小值，進而即可判斷D． 【詳解】由a，b為正實數(shù)，滿足，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以有最小值，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以有最大值，故B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，但，所以取不到最小值，故C錯誤；對于D，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，則，即，所以有最大值，故D正確．故選：AD．12.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最大值可能是B.函數(shù)的圖象一定具有對稱性C.“函數(shù)最大值為1”是“，”的必要不充分條件D.函數(shù)在定義域內(nèi)不可能是單調(diào)函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】可判斷A；討論和時，求出的對稱性可判斷B；由充分條件和必要條件的定義可判斷C；由單調(diào)函數(shù)的定義可判斷D. 【詳解】對于A，若函數(shù)的最大值是，則恒成立，但，不符合，故A錯誤；對于B，若，關(guān)于成對稱中心，若，令，其圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱，故B正確；對于C，當(dāng)，，，所以函數(shù)最大值為1，所以“函數(shù)最大值為1”推不出“，”，當(dāng)，時，，令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)最大值為，故“，”能推出“函數(shù)最大值為1”，故“函數(shù)最大值為1”是“，”的必要不充分條件，C正確；對于D，當(dāng)時，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，不是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時，，無單調(diào)性，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域內(nèi)不可能是單調(diào)函數(shù)，故D正確.故選：BCD.非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知冪函數(shù)的圖象過點，則____________【答案】3【解析】【分析】設(shè)出函數(shù)解析式，由已知點求得參數(shù)值得解析式，然后代入計算．【詳解】設(shè)，則，，即，∴．故答案為：3.14.已知函數(shù)，則f（1）﹣f（3）=________【答案】7【解析】【詳解】由題意知,所以故填715.已知，，，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則計算出答案.【詳解】.故答案為：16.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】討論與的取值，從而化簡不等式，解不等式即可得出答案． 【詳解】因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的值域為，①若，，即則，，成立，②若，，即，，，所以由可得：，即，則，解得：，若，，即，解得：，故，若，，即，即，解得：，故且，綜上：實數(shù)a的取值范圍是：.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.17.計算：；【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運算法則和根式運算法則計算出結(jié)果. 【詳解】18.設(shè)全集，已知集合，集合.（1）求和；（2）若集合（a為常數(shù)），且，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)并集、補集的運算求解即可；（2）根據(jù)得出的所有可能，據(jù)此列出不等式求解即可.【小問1詳解】因為，，所以，又，，所以.【小問2詳解】因為，所以可能為，若，則，解得或；若，則，化簡得，解得；若，則，化簡得，解得； 若，則，解得.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）若為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；（2）在（1）的條件下，試判斷在上的單調(diào)性并用定義法給出證明，寫出此時的值域.【答案】（1）1（2）單調(diào)遞增，證明見解析，【解析】【分析】（1）利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明并利用單調(diào)性求值域.【小問1詳解】因為，定義域為，且為奇函數(shù)，所以，所以，即，解得.【小問2詳解】由（1）知，，在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，且，則，因為，所以，，，所以，即， 所以在上單調(diào)遞增.由的單調(diào)性可知，，即，所以的值域為.20.杭州第19屆亞運會，溫州分會場場館之一的溫州體育中心，內(nèi)有一塊足夠長的矩形場地，一面靠墻，現(xiàn)需要分隔出志愿者區(qū)、記者區(qū)以及運動員候場區(qū)三塊區(qū)域如圖，除墻外的各邊界線用安全警戒帶圍成.現(xiàn)有40m長的安全警戒帶材料.（1）若運動員候場區(qū)面積是志愿者區(qū)與記者區(qū)面積之和，運動員候場區(qū)長、寬分別設(shè)計為多少時，可使其面積最大，最大面積是多少平米？（2）在保證志愿者區(qū)和記者區(qū)面積之和是20平米的前提下，如何設(shè)計運動員候場區(qū)的長、寬，可以使得運動員候場區(qū)的面積最大？【答案】（1）長、寬分別，最大面積為；（2）長、寬分別為.【解析】【分析】（1）設(shè)運動員候場區(qū)寬為，用表示出運動員候場區(qū)的面積，再利用二次函數(shù)求出最大值即可得出結(jié)果.（2）設(shè)志愿者區(qū)和記者區(qū)矩形的寬為，結(jié)合已知表示出運動員候場區(qū)的面積，再求出面積最大值即可得出結(jié)果.【小問1詳解】令靠墻的一邊為矩形的長，設(shè)運動員候場區(qū)寬為，因為運動員候場區(qū)面積是志愿者區(qū)與記者區(qū)面積之和，則志愿者區(qū)和記者區(qū)矩形的寬也為，于是運動員候場區(qū)長為，顯然，因此運動員候場區(qū)的面積，則當(dāng)時，，此時運動員候場區(qū)長為， 所以運動員候場區(qū)長、寬分別時，運動員候場區(qū)的面積最大，最大面積為.【小問2詳解】令靠墻的一邊為矩形的長，設(shè)志愿者區(qū)和記者區(qū)矩形的寬為，則運動員候場區(qū)長為，運動員候場區(qū)寬為，顯然，解得，于是運動員候場區(qū)的面積，則當(dāng)，即時，，此時，，運動員候場區(qū)長、寬分別為時，運動員候場區(qū)的面積最大，最大面積為.21.已知定義域為R的函數(shù)滿足：對于任意，，都有，，且當(dāng)時，.（1）試判斷函數(shù)的奇偶性，并給出證明；（2）設(shè)函數(shù)，請判斷在上的單調(diào)性，并求不等式的解.【答案】（1）函數(shù)奇函數(shù).證明見解析.（2）【解析】【分析】（1）由奇、偶函數(shù)的定義證明即可；（2）根據(jù)單調(diào)性定義可證明為R上單調(diào)遞增函數(shù)，即可得的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性解不等式即可得出答案.【小問1詳解】函數(shù)為奇函數(shù).證明如下：函數(shù)的定義域為R，令可得， 即，令，則，所以函數(shù)為奇函數(shù).【小問2詳解】令，則，在R上任取，則，因為當(dāng)時，，所以，，即，所以，所以R上單調(diào)遞增函數(shù)；又，令，所以，又當(dāng)時，，得，所以當(dāng)時，，因為，所以函數(shù)的定義域為R，任取，則，因為，所以，又，所以，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，同理在上為單調(diào)減函數(shù)，因為令，所以，令，所以，令，所以，故，令，所以，故， 所以，，所以，，所以，所以解集為22.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值（用含b的式子表示）；（2）如果方程有三個不相等的實數(shù)解，，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化函數(shù)為分段函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象分類討論求函數(shù)最大值即可；（2）化函數(shù)為分段函數(shù)，分類討論可知時函數(shù)有三個根，由關(guān)于對稱軸對稱，化簡，求出的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，如圖， 由圖可知當(dāng)時，即時，最大值為；當(dāng)時，即時，最大值為；當(dāng)時，即時，最大值為.所以.【小問2詳解】，當(dāng)時，當(dāng)時，方程的判別式，可知方程無解，所以此時不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，方程有個不相等的實數(shù)根，且在上遞增，所以時，有個根，且時，有個根，所以只需滿足，解得，綜上所述：取值范圍是. 不妨設(shè)，則，所以，因為，則，可得，所以.故的取值范圍為.