隨機過程與隨機場習題

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1、1.設(shè)有隨機過程，，其中為常數(shù)，且，和是隨機變量，且相互統(tǒng)計獨立，他們的概率密度為即和是正態(tài)分布隨機變量。若把寫成的形式。（1）求，問V和是否統(tǒng)計獨立；（2）畫出的典型樣本函數(shù)；（3）求的一維概率密度函數(shù)。解：由題意（1）其中由于相互獨立，故其聯(lián)合概率密度為隨機變量變換概率密度公式，可得到的聯(lián)合概率密度：其中則所以可知二者統(tǒng)計獨立。（3）高斯隨機過程變量的特征函數(shù)為高斯隨機變量的特征函數(shù)因此得特征函數(shù)分別為又因為，故得特征函數(shù)為所以的概率密度為其特征函數(shù)的傅里葉反變換：2.設(shè)隨機過程，其中V是在（0,1）是均勻分布的隨機變量，求過程的均值和自相關(guān)函數(shù)。解：由已知，隨機變量V的概率密度函

2、數(shù)為則3.設(shè)隨機過程，式中A，B為兩個互不相關(guān)的隨機變量，且有，求過程的均值，相關(guān)函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。解：由已知，得均值方差：相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)：4.論述正交，不相關(guān)，獨立的條件及關(guān)系。解：獨立：正交：不相關(guān)：（A）獨立則必定不相關(guān)，而不相關(guān)卻不一定互相獨立，只有是高斯時獨立和不相關(guān)才等價。（B）正交和不相關(guān)沒有必然關(guān)系，只有當一個隨機變量的統(tǒng)計平均等于零時，正交和不相關(guān)等價。獨立－－－－－－－－－－－－－>不相關(guān)<－－－－－－－－－－－－－均值為零的高斯隨機對象有一期望為零不相關(guān)<－－－－－－－－>正交5.設(shè)隨機信號，式中a，均為正的常數(shù)，為正態(tài)隨機變量，其概率密度為討論的平穩(wěn)性

3、。解：根據(jù)寬平穩(wěn)的條件，因為相關(guān)函數(shù)：6.用無數(shù)次投擲硬幣的隨機試驗來定義一個隨機，稱為半二元傳輸信號，求此信號的均值和自相關(guān)函數(shù)。[此題不很會]解：由題意，設(shè)Y為服從兩點分布的隨機變量；g(t)如圖所示，周期為T的矩形波。-1g(t)t2T3TT1則半二元傳輸信號可表示為：，則根據(jù)數(shù)字特征的定義有7.設(shè)兩個連續(xù)時間的隨機相位信號其中為常數(shù)，在上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。解：由題意知X的均值：Y的均值：互協(xié)方差函數(shù)：因為，則8.設(shè)隨機過程的均值與相關(guān)函數(shù)為，試求的均值和協(xié)方差。解：由題意得Y的均值：Y的自相關(guān)函數(shù)：則Y的協(xié)方差函數(shù)：9.設(shè)有正弦波過程，其中振幅A，角頻率為常數(shù)，相位是在

4、上服從均勻分布的隨機變量，求的均值與相關(guān)函數(shù)，確定是平穩(wěn)過程。解：由題意知均值：相關(guān)函數(shù)：由平穩(wěn)過程的定義可知，是平穩(wěn)過程。10.設(shè)使一周期為T的函數(shù)，是在內(nèi)服從均勻分布的隨機變量，則稱是隨機相位周期過程，是一個平穩(wěn)過程，證明：隨機相位周期過程是各態(tài)歷經(jīng)的。證明：由題意，此隨機相位周期過程的周期為，則X的均值：自相關(guān)函數(shù)：而11.討論遍歷和平穩(wěn)之間的關(guān)系解：遍歷過程必須是平穩(wěn)的，但只有在一定條件下的平穩(wěn)過程，才具有各態(tài)歷經(jīng)性。12.設(shè)隨機過程，其中A，B是均值為零，方差為的相互獨立的正態(tài)隨機變量。問：的均值和均方值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性？若，是在內(nèi)服從均勻分布的隨機變量，此時是否是各態(tài)歷經(jīng)

5、的？解：由題意因為則均方收斂于0?！瓫]完！13.已知平穩(wěn)過程的譜密度為求的均方值。解：由題意因為則則15.已經(jīng)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為求譜密度。解：由題意因為則根據(jù)卷積定理的逆定理得16.設(shè)隨機過程，其中A為常數(shù)，和事相互獨立的隨機變量，且在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，的一維概率密度為偶函數(shù)，及，證明：的譜密度是。解：由題意的概率密度函數(shù)為：則譜密度為故命題得正。17.設(shè)是一個馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求：（1）；（2）。解：由題意根據(jù)全概率公式和馬爾可夫鏈的性質(zhì)二步轉(zhuǎn)移概率則18.一維隨機游動19.設(shè)是具有三個狀態(tài)0,1,2的齊次馬爾可夫鏈，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為初始分布。試求

6、：（1）（2）（3）解：由題意先求出兩步轉(zhuǎn)移概率20.已知，如果，求。解：21.設(shè)隨機微分方程為其中是常數(shù)，是均值為零的均方連續(xù)的二階矩過程，求解的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。解：由題意的給方程兩邊求均值，方程改寫為解此微分方程得:代入初始條件，則由題意在求協(xié)方差函數(shù)之前，現(xiàn)要求X，Y得協(xié)方差函數(shù)，對方程兩邊同乘，方程改寫為解此微分方程的解此微分方程得22.設(shè)有隨機起點的自由落體運動方程其中表示時刻t的物體位置，是服從的隨機變量。求解微分方程并討論解的概率特性。解：由題意，得解此微分方程得故均值：相關(guān)函數(shù)：所以協(xié)方差函數(shù)：23.RC積分電路的輸出電壓與輸入電壓的關(guān)系由方程描述。其中的均值，相

7、關(guān)函數(shù)，已知初始條件，求輸出電壓及其均方值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。解：由題意微分方程的解是則其均值函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為24.研究線性振動，其運動方程為有隨機初始條件圓頻率假定是確定的常數(shù)，已知與的聯(lián)合密度函數(shù)為，分析隨機線性振動的統(tǒng)計特性。解：由題意令故令【其實就是解微分方程，然后將與兩式合成一個矩陣表示】，