隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)場(chǎng)習(xí)題

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1、1.設(shè)有隨機(jī)過(guò)程，，其中為常數(shù)，且，和是隨機(jī)變量，且相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，他們的概率密度為即和是正態(tài)分布隨機(jī)變量。若把寫成的形式。（1）求，問V和是否統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；（2）畫出的典型樣本函數(shù)；（3）求的一維概率密度函數(shù)。解：由題意（1）其中由于相互獨(dú)立，故其聯(lián)合概率密度為隨機(jī)變量變換概率密度公式，可得到的聯(lián)合概率密度：其中則所以可知二者統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。（3）高斯隨機(jī)過(guò)程變量的特征函數(shù)為高斯隨機(jī)變量的特征函數(shù)因此得特征函數(shù)分別為又因?yàn)?，故得特征函?shù)為所以的概率密度為其特征函數(shù)的傅里葉反變換：2.設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中V是在（0,1）是均勻分布的隨機(jī)變量，求過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)。解：由已知，隨機(jī)變量V的概率密度函

2、數(shù)為則3.設(shè)隨機(jī)過(guò)程，式中A，B為兩個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)變量，且有，求過(guò)程的均值，相關(guān)函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。解：由已知，得均值方差：相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)：4.論述正交，不相關(guān)，獨(dú)立的條件及關(guān)系。解：獨(dú)立：正交：不相關(guān)：（A）獨(dú)立則必定不相關(guān)，而不相關(guān)卻不一定互相獨(dú)立，只有是高斯時(shí)獨(dú)立和不相關(guān)才等價(jià)。（B）正交和不相關(guān)沒有必然關(guān)系，只有當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均等于零時(shí)，正交和不相關(guān)等價(jià)。獨(dú)立－－－－－－－－－－－－－>不相關(guān)<－－－－－－－－－－－－－均值為零的高斯隨機(jī)對(duì)象有一期望為零不相關(guān)<－－－－－－－－>正交5.設(shè)隨機(jī)信號(hào)，式中a，均為正的常數(shù)，為正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度為討論的平穩(wěn)性

3、。解：根據(jù)寬平穩(wěn)的條件，因?yàn)橄嚓P(guān)函數(shù)：6.用無(wú)數(shù)次投擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)定義一個(gè)隨機(jī)，稱為半二元傳輸信號(hào)，求此信號(hào)的均值和自相關(guān)函數(shù)。[此題不很會(huì)]解：由題意，設(shè)Y為服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量；g(t)如圖所示，周期為T的矩形波。-1g(t)t2T3TT1則半二元傳輸信號(hào)可表示為：，則根據(jù)數(shù)字特征的定義有7.設(shè)兩個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)相位信號(hào)其中為常數(shù)，在上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。解：由題意知X的均值：Y的均值：互協(xié)方差函數(shù)：因?yàn)椋瑒t8.設(shè)隨機(jī)過(guò)程的均值與相關(guān)函數(shù)為，試求的均值和協(xié)方差。解：由題意得Y的均值：Y的自相關(guān)函數(shù)：則Y的協(xié)方差函數(shù)：9.設(shè)有正弦波過(guò)程，其中振幅A，角頻率為常數(shù)，相位是在

4、上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求的均值與相關(guān)函數(shù)，確定是平穩(wěn)過(guò)程。解：由題意知均值：相關(guān)函數(shù)：由平穩(wěn)過(guò)程的定義可知，是平穩(wěn)過(guò)程。10.設(shè)使一周期為T的函數(shù)，是在內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)變量，則稱是隨機(jī)相位周期過(guò)程，是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，證明：隨機(jī)相位周期過(guò)程是各態(tài)歷經(jīng)的。證明：由題意，此隨機(jī)相位周期過(guò)程的周期為，則X的均值：自相關(guān)函數(shù)：而11.討論遍歷和平穩(wěn)之間的關(guān)系解：遍歷過(guò)程必須是平穩(wěn)的，但只有在一定條件下的平穩(wěn)過(guò)程，才具有各態(tài)歷經(jīng)性。12.設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中A，B是均值為零，方差為的相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量。問：的均值和均方值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性？若，是在內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)變量，此時(shí)是否是各態(tài)歷經(jīng)

5、的？解：由題意因?yàn)閯t均方收斂于0?！瓫]完！13.已知平穩(wěn)過(guò)程的譜密度為求的均方值。解：由題意因?yàn)閯t則15.已經(jīng)平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)為求譜密度。解：由題意因?yàn)閯t根據(jù)卷積定理的逆定理得16.設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中A為常數(shù)，和事相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，的一維概率密度為偶函數(shù)，及，證明：的譜密度是。解：由題意的概率密度函數(shù)為：則譜密度為故命題得正。17.設(shè)是一個(gè)馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為求：（1）；（2）。解：由題意根據(jù)全概率公式和馬爾可夫鏈的性質(zhì)二步轉(zhuǎn)移概率則18.一維隨機(jī)游動(dòng)19.設(shè)是具有三個(gè)狀態(tài)0,1,2的齊次馬爾可夫鏈，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為初始分布。試求

6、：（1）（2）（3）解：由題意先求出兩步轉(zhuǎn)移概率20.已知，如果，求。解：21.設(shè)隨機(jī)微分方程為其中是常數(shù)，是均值為零的均方連續(xù)的二階矩過(guò)程，求解的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。解：由題意的給方程兩邊求均值，方程改寫為解此微分方程得:代入初始條件，則由題意在求協(xié)方差函數(shù)之前，現(xiàn)要求X，Y得協(xié)方差函數(shù)，對(duì)方程兩邊同乘，方程改寫為解此微分方程的解此微分方程得22.設(shè)有隨機(jī)起點(diǎn)的自由落體運(yùn)動(dòng)方程其中表示時(shí)刻t的物體位置，是服從的隨機(jī)變量。求解微分方程并討論解的概率特性。解：由題意，得解此微分方程得故均值：相關(guān)函數(shù)：所以協(xié)方差函數(shù)：23.RC積分電路的輸出電壓與輸入電壓的關(guān)系由方程描述。其中的均值，相

7、關(guān)函數(shù)，已知初始條件，求輸出電壓及其均方值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。解：由題意微分方程的解是則其均值函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為24.研究線性振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為有隨機(jī)初始條件圓頻率假定是確定的常數(shù)，已知與的聯(lián)合密度函數(shù)為，分析隨機(jī)線性振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性。解：由題意令故令【其實(shí)就是解微分方程，然后將與兩式合成一個(gè)矩陣表示】，