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1、尋找“矛盾”的足跡數(shù)學科組:潘海燕關(guān)鍵詞矛盾、知識點、知識系統(tǒng)摘要在知識點內(nèi)、知識點間和知識系統(tǒng)間尋找數(shù)學問題的矛盾所在,分析矛盾、解決矛盾,從而解決數(shù)學問題。在整個中學數(shù)學中,數(shù)學問題充斥著始終。而數(shù)學問題是反映了數(shù)學本身的發(fā)展過程中所產(chǎn)生的矛盾,同時也反映了現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的矛盾。解決數(shù)學問題是中學數(shù)學貫徹始終的一種能力。因此,尋找數(shù)學問題中的矛盾也就是解決數(shù)學問題的關(guān)鍵。數(shù)學問題中的矛盾主要有:知識點本身的矛盾;知識點與知識點間的矛盾;知識系統(tǒng)之間的矛盾。只有找到矛盾才能找到更好的正確的解決問題
2、的方法。一、在知識點內(nèi)尋找矛盾,從而解決有關(guān)知識點內(nèi)的問題。例1實數(shù)a、b、c,滿足a=6-b,c2=ab-9,求證:a=b。分析:從題目中可發(fā)現(xiàn)要求證多項式相等,而已知中有二項式,求證中沒有,于是多項式間產(chǎn)生了矛盾。為此,首先要消去c2,但直接消去不可能,于是逆向思維,暫時不消c2而改消a和b.考慮到條件可化為a+b=6,ab=c2+9,故可以a、b為根構(gòu)造出如下的一元二次方程:t2-6t+c2+9=0,從而消去了a、b,∵a、b為實數(shù),∴方程的判別式Δ=36-4(c2+9)=-4c2≥0從而c2≤0,∵c∈R
3、,∴c2≥0,∴c=0,∴Δ=0即方程有相等的實根,∴a=b,于是結(jié)論得證。并最終達到了消去c2及二次。例22x+x2y=y解方程組2x+y2z=z2z+z2x=x分析:此題是三元二次方程組,次數(shù)高、未知數(shù)多。直接求解顯然有困難,于是需要認真觀察,發(fā)現(xiàn)矛盾產(chǎn)生于方程與方程之間,在關(guān)于x、y、z的輪換對稱式中得到了解決。由2x+x2y=y知,令x=tanα則y=tan2α。仿此,由第二、第三個方程又可得,從而有z=tan4α,x=tanα=tan8α.據(jù)此聯(lián)系即可順利求解。二、知識點間尋找矛盾,從而解決有關(guān)知識點間
4、的問題。例3如果p3+q3=2,求證:p+q≤2。分析:比較條件與結(jié)論,發(fā)現(xiàn)這是等式與不等式之間的矛盾。于是要設(shè)法將這一矛盾統(tǒng)一起來,即將等式轉(zhuǎn)化為不等式,或不等式轉(zhuǎn)為等式。為此,我們可用反證法。假設(shè)結(jié)論不成立,則有p+q>2,如果由此出發(fā)推出矛盾,則由排中律。即知原命題成立。為此,我們由p+q>2可得。P>2–q代入條件式得(2-q)3+q3<2化簡得6(q-1)2<0而這是不可能的,故得矛盾。從而證明到原命題成立。例4在ΔABC中,AB=AC,D是BC上的一點,E是AD上的一點,且∠BED=2∠CED=∠A。
5、求證:BD=2CD。分析:比較條件與結(jié)論,發(fā)現(xiàn)這是角之間的關(guān)系與線段之間的關(guān)系的矛盾。而為了找出角與線段間的關(guān)系,就得深入研究角之間的關(guān)系,于是將矛盾引向知識點間的矛盾。從結(jié)論可得=2,從而想到將其與平行線截線段成比例定理聯(lián)系起來。于是,如圖,過C作CG∥AD,并交BE的延長線于G,則要證明結(jié)論成立,只需證明BE=2EG。連接AG,則由圖示直觀及已知條件可知∠BGC=∠BED=∠BAC,從而可知A、B、C、G四點共圓。又由AB=AC,CG∥AD,所以AE=EG。從而要證明結(jié)論成立,只需證明BE=2AE。為證BE=
6、2AE,可取BE的中點F,連接AF,再證△AEF為等腰三角形。但此舉不易做到,故只得再次轉(zhuǎn)化。即由條件出發(fā)順推結(jié)論。為此,由∠BED=2∠CED=∠A得到啟發(fā),將∠BED一分為二,使半角等于∠CED,從而轉(zhuǎn)向∠CED,如圖作∠BED的平分線EM交BC于M,過A作AF∥EM交BE于F,則易證△AEF為等腰三角形。于是接下去只要證明F為BE的中點即可。由于BF與AE分別是△ABF與△CAE的對應(yīng)邊,故要證明F為BE的中點,只需證明△ABF△CAE。∵AB=AC,∠CAE+∠BAE=∠BAC,∠ABF+∠BAE=∠BE
7、D=∠BAC,∴∠ABF=∠CAE?!摺螦FE=∠CED,而∠BAF+∠ABF=∠AFE,∠CAE+∠ACE=∠CED,∴∠BAF=∠ACE?!唷鰽BF△CAE,BF=AE=FE?!郆E=2AE。它就是本題的條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系。借助這個聯(lián)系,即可使原題得到簡易的證明。證明:如圖,延長BE到G,使AE=EG,則得到△EAG∽△ABC,從而∠EGA=∠C。所以A、B、C、G四點共圓。從而∠BGC=∠BAC=∠BED。故AD∥GC。所以==2。即BD=2CD三、知識系統(tǒng)間的矛盾。在數(shù)學中最大的有兩大知識系統(tǒng):代數(shù)系
8、統(tǒng)與幾何系統(tǒng)。其中聯(lián)系密切,于是在數(shù)學問題中的表現(xiàn)為矛盾重重。請看以下問題:例5等腰△ABC的底邊為1,底角B的平分線交對腰AC于D,求證:〈BD〈分析:在平面幾何系統(tǒng)內(nèi)證明不等式關(guān)系,一般來說是比較困難的,但在代數(shù)知識系統(tǒng)中卻會變得容易一些。因此,化難為易,我們不妨進行跨體系的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換,將幾何問題轉(zhuǎn)移到代數(shù)系統(tǒng)中處理。為此,過A作BC的垂線為y軸,以BC所在直線為x軸建