尋找"矛盾"的足跡.doc

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1、尋找“矛盾”的足跡數(shù)學(xué)科組：潘海燕關(guān)鍵詞矛盾、知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)系統(tǒng)摘要在知識(shí)點(diǎn)內(nèi)、知識(shí)點(diǎn)間和知識(shí)系統(tǒng)間尋找數(shù)學(xué)問題的矛盾所在，分析矛盾、解決矛盾，從而解決數(shù)學(xué)問題。在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)問題充斥著始終。而數(shù)學(xué)問題是反映了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展過程中所產(chǎn)生的矛盾，同時(shí)也反映了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的矛盾。解決數(shù)學(xué)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)貫徹始終的一種能力。因此,尋找數(shù)學(xué)問題中的矛盾也就是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)問題中的矛盾主要有：知識(shí)點(diǎn)本身的矛盾；知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)間的矛盾；知識(shí)系統(tǒng)之間的矛盾。只有找到矛盾才能找到更好的正確的解決問題的方法。一、在知

2、識(shí)點(diǎn)內(nèi)尋找矛盾，從而解決有關(guān)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)的問題。例1實(shí)數(shù)a、b、c,滿足a=6-b，c2=ab-9，求證：a=b。分析：從題目中可發(fā)現(xiàn)要求證多項(xiàng)式相等，而已知中有二項(xiàng)式，求證中沒有，于是多項(xiàng)式間產(chǎn)生了矛盾。為此，首先要消去c2,但直接消去不可能，于是逆向思維，暫時(shí)不消c2而改消a和b.考慮到條件可化為a+b=6,ab=c2+9,故可以a、b為根構(gòu)造出如下的一元二次方程：t2-6t+c2+9=0,從而消去了a、b，∵a、b為實(shí)數(shù)，∴方程的判別式Δ=36-4（c2+9）=-4c2≥0從而c2≤0，∵c∈R，∴c2≥0，∴c=0，∴Δ=0

3、即方程有相等的實(shí)根，∴a=b，于是結(jié)論得證。并最終達(dá)到了消去c2及二次。例22x+x2y=y解方程組2x+y2z=z2z+z2x=x分析：此題是三元二次方程組，次數(shù)高、未知數(shù)多。直接求解顯然有困難，于是需要認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)矛盾產(chǎn)生于方程與方程之間，在關(guān)于x、y、z的輪換對(duì)稱式中得到了解決。由2x+x2y=y知,令x=tanα則y=tan2α。仿此，由第二、第三個(gè)方程又可得，從而有z=tan4α,x=tanα=tan8α.據(jù)此聯(lián)系即可順利求解。二、知識(shí)點(diǎn)間尋找矛盾，從而解決有關(guān)知識(shí)點(diǎn)間的問題。例3如果p3+q3=2,求證：p+q≤2

4、。分析：比較條件與結(jié)論，發(fā)現(xiàn)這是等式與不等式之間的矛盾。于是要設(shè)法將這一矛盾統(tǒng)一起來，即將等式轉(zhuǎn)化為不等式，或不等式轉(zhuǎn)為等式。為此，我們可用反證法。假設(shè)結(jié)論不成立，則有p+q>2,如果由此出發(fā)推出矛盾，則由排中律。即知原命題成立。為此，我們由p+q>2可得。P>2–q代入條件式得（2-q）3+q3<2化簡得6(q-1)2<0而這是不可能的，故得矛盾。從而證明到原命題成立。例4在ΔABC中，AB=AC，D是BC上的一點(diǎn)，E是AD上的一點(diǎn)，且∠BED=2∠CED=∠A。求證：BD=2CD。分析：比較條件與結(jié)論，發(fā)現(xiàn)這是角之間的關(guān)系與

5、線段之間的關(guān)系的矛盾。而為了找出角與線段間的關(guān)系，就得深入研究角之間的關(guān)系，于是將矛盾引向知識(shí)點(diǎn)間的矛盾。從結(jié)論可得=2，從而想到將其與平行線截線段成比例定理聯(lián)系起來。于是，如圖，過C作CG∥AD，并交BE的延長線于G，則要證明結(jié)論成立，只需證明BE=2EG。連接AG，則由圖示直觀及已知條件可知∠BGC=∠BED=∠BAC，從而可知A、B、C、G四點(diǎn)共圓。又由AB=AC，CG∥AD，所以AE=EG。從而要證明結(jié)論成立，只需證明BE=2AE。為證BE=2AE，可取BE的中點(diǎn)F，連接AF，再證△AEF為等腰三角形。但此舉不易做到，故

6、只得再次轉(zhuǎn)化。即由條件出發(fā)順推結(jié)論。為此，由∠BED=2∠CED=∠A得到啟發(fā)，將∠BED一分為二，使半角等于∠CED，從而轉(zhuǎn)向∠CED，如圖作∠BED的平分線EM交BC于M，過A作AF∥EM交BE于F，則易證△AEF為等腰三角形。于是接下去只要證明F為BE的中點(diǎn)即可。由于BF與AE分別是△ABF與△CAE的對(duì)應(yīng)邊，故要證明F為BE的中點(diǎn)，只需證明△ABF△CAE?！逜B=AC，∠CAE+∠BAE=∠BAC，∠ABF+∠BAE=∠BED=∠BAC，∴∠ABF=∠CAE?！摺螦FE=∠CED，而∠BAF+∠ABF=∠AFE，∠CA

7、E+∠ACE=∠CED，∴∠BAF=∠ACE?！唷鰽BF△CAE，BF=AE=FE。∴BE=2AE。它就是本題的條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系。借助這個(gè)聯(lián)系，即可使原題得到簡易的證明。證明：如圖，延長BE到G，使AE=EG，則得到△EAG∽△ABC，從而∠EGA=∠C。所以A、B、C、G四點(diǎn)共圓。從而∠BGC=∠BAC=∠BED。故AD∥GC。所以==2。即BD=2CD三、知識(shí)系統(tǒng)間的矛盾。在數(shù)學(xué)中最大的有兩大知識(shí)系統(tǒng)：代數(shù)系統(tǒng)與幾何系統(tǒng)。其中聯(lián)系密切，于是在數(shù)學(xué)問題中的表現(xiàn)為矛盾重重。請(qǐng)看以下問題：例5等腰△ABC的底邊為1，底角B的

8、平分線交對(duì)腰AC于D，求證：〈BD〈分析：在平面幾何系統(tǒng)內(nèi)證明不等式關(guān)系，一般來說是比較困難的，但在代數(shù)知識(shí)系統(tǒng)中卻會(huì)變得容易一些。因此，化難為易，我們不妨進(jìn)行跨體系的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換，將幾何問題轉(zhuǎn)移到代數(shù)系統(tǒng)中處理。為此，過A作BC的垂線為y軸，以BC所在直線為x軸建