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1、廣義分?jǐn)?shù)次積分算子交換子的Coifman型加權(quán)不等式醺數(shù)學(xué)物理http://actams.wipm.aC.CI1廣義分?jǐn)?shù)次積分算子交換子的Coifman型加權(quán)不等式閆雪芳李文明(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院石家莊050016)摘要:設(shè)乃是由滿足廣義HSrmander條件的核函數(shù)確定的廣義分?jǐn)?shù)次積分算子,該文得到了廣義分?jǐn)?shù)次積分算子交換子的Coifman型加權(quán)不等式,并將結(jié)果應(yīng)用于一類粗糙核分?jǐn)?shù)次積分算子交換子.關(guān)鍵詞:廣義分?jǐn)?shù)次積分算子;交換子;MR(2000)主題分類:42B20;42B25文章編號:1003—3998(2011)03—776
2、—091引言及主要結(jié)果H6rmander條件;加權(quán)不等式;極大函數(shù)中圖分類號:O174.2文獻標(biāo)識碼:A設(shè)0<<n,對R上的可測函數(shù)f,分?jǐn)?shù)次積分算子定義為/RMuckenhoupt與Wheedenl】證明了下面的Coifman型加權(quán)不等式:對任意0<P<..及任意∈o.,Aoo表示Muckenhoupt權(quán)函數(shù)類,有/lLf(x)lw(x)dxC/l廠()w(x)dx,(1.1)√Rn√Rn其中是分?jǐn)?shù)次極大算子.關(guān)于分?jǐn)?shù)次積分算子的交換子fb,1,當(dāng)b∈BMO時,也有類似的結(jié)果,見文獻[2】,其中[b,],()=6()Lf
3、(x)一L(bf)().最近Riveros[3J引入一類廣義分?jǐn)?shù)次積分算子,并研究了其Coifman型加權(quán)不等式.為給出廣義分?jǐn)?shù)次積分算子的定義,我們先介紹一些基本概念和記號.稱A(t):[0,∞)一f0,∞)是一個Young函數(shù),如果是連續(xù)遞增的凸函數(shù),且滿足A(0)=0,A(t)一..(￡一0(3).對Young函數(shù),存在共軛Young函數(shù),滿足t()()2t.我們假設(shè)Young函數(shù)是規(guī)范的,即x(i)=1.對R上的可測函數(shù),,'廠在球B上的Luxemburg范數(shù)定義為fHA,B=inf<…:高()收稿日期:2009—06—1l;修訂日
4、期:2010—04—25E—mail:yanxuefang2OO8~tom.com基金項目:河北省自然科學(xué)基金(08M001)和河北師范大學(xué)科研基金(L2007Q06)資助No.3閆雪芳等:廣義分?jǐn)?shù)次積分算子交換子的Coifman型加權(quán)不等式777對0<a<n,與Young函數(shù)相聯(lián)系的分?jǐn)?shù)次極大算子定義為Ma,,(z)=supJBJJIfllA,日.Bj若OL=0,(t)=t,Ma,A就是Hardy—Littlewood極大算子;若()=t,Ma,A就是分?jǐn)?shù)次極大算子M.特別地,若Young函數(shù)A(t)一t,A(t)=e,其相應(yīng)的Lu
5、xemburg范數(shù)分別記為=l,llexpLr,其相應(yīng)的極大算子分別記為一MLr,pr.為方便起見,我們用一s表示s<2s,定義1.1設(shè)是Young函數(shù),0OL<n.}Ifll~,=JIfx{Ii}Jl,B(o,2s).稱核K∈Ha(或稱滿足,一HSrmander條件),若存在Cl,C>0,使得對任意Y∈R,R>c,有∑(2R)一.(?一)一(')l2mRC.TYt,~1稱核∈風(fēng),..,若將上面條件中的ll_1～2mR改為l1.一,2mR定義1.2稱核‰∈娥.o.,若存在c1,C>0,使得(z一)一(麗,>cl
6、當(dāng)A(t)=trr1),記鞏,=因t1時,tcA(t),我們有風(fēng),A(日,1.易證分?jǐn)?shù)次積分算子L的核函數(shù)甄(?)=l?la--n∈...cHa,..cHa,.設(shè)0<a<扎,對R上的可測函數(shù).廠,廣義分?jǐn)?shù)次積分算子定義為廠f(x)=/(—y)f(y)dy.Rn文獻【3]得到了如下加權(quán)結(jié)果:設(shè)是Young函數(shù),∈鞏,A.若對1<P<q<..,1一=,是強,q)型及弱(1,)型的.則對任意的0<P<..,∈A..,有/f.廠(z)fw(x)dx/,,()w(x)dx,f∈.(1.2)√Rn√Rn設(shè)b∈BMO,
7、≥0,與b構(gòu)成的階交換子定義為-6,()=/(6()一b())Ka(x—y)f(y)dy.當(dāng)一0時,即為.本文考慮廣義分?jǐn)?shù)次積分算子交換子的Coifman型加權(quán)不等式.為此要求核函數(shù)K.滿足下列更強的條件.下面總假設(shè)對1<P<q<∞,1一百1=a,是強,g)型及弱(1,ftla)型的.定義1.3設(shè)是Young函數(shù),0Oz<n,k為正整數(shù),稱核∈若存在c1,C>0,使得對任意y∈R",R>c,有∑(2R)一mIlK(-一)一K(_)lI,{I～2mRCm=1稱核Ka∈磁,o.,若將上面條件中的,2mR改為lIL,
8、2mR.易證哦,o.cc磷-1c…[硪,c鞏,c,1.同樣地,若t0時,(￡)c(t),則磁,o.cgkc.c磁,1cHa,1.778數(shù)
