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《高等數(shù)學(xué)——微分方程》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第八章常微分方程一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的階、解、通解、初始條件與特解等概念.2．掌握可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的解法.3．了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).4．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.5．會(huì)求自由項(xiàng)為或，時(shí)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解.6.知道特殊的高階微分方程（，，）的降階法.7．會(huì)用微分方程解決一些簡單的實(shí)際問題.重點(diǎn)微分方程的通解與特解等概念，一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方
2、程的待定系數(shù)法。難點(diǎn)一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法，高階微分方程的降階法，用微分方程解決一些簡單的實(shí)際問題.（二）內(nèi)容提要⒈微分方程的基本概念⑴微分方程的定義①凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.②未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本書只討論常微分方程，簡稱微分方程.⑵微分方程的階、解與通解微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.如果把函數(shù)代入微分方程后，能使方程成為恒等式
3、,則稱該函數(shù)為該微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為微分方程的通解.⑶初始條件與特解用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個(gè)特定點(diǎn)的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件.滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解.⑷獨(dú)立的任意常數(shù)①線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個(gè)不全為零的數(shù)，使得對于區(qū)間內(nèi)的任一，恒有11成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).顯然，函數(shù)線性相關(guān)的充分必要條件是在區(qū)間內(nèi)恒為常數(shù).如果不恒為常數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)線性無關(guān).②獨(dú)立
4、的任意常數(shù)在表達(dá)式(,為任意常數(shù))中,,為獨(dú)立的任意常數(shù)的充分必要條件為,線性無關(guān).2.可分離變量的微分方程⑴定義形如的微分方程，稱為可分離變量的方程.該微分方程的特點(diǎn)是等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，其中一個(gè)僅是的函數(shù)，另一個(gè)僅是的函數(shù)，即分別是變量的已知連續(xù)函數(shù).⑵求解方法可分離變量的微分方程的求解方法,一般有如下兩步:第一步:分離變量，第二步:兩邊積分.3.線性微分方程?、拧∫浑A線性微分方程①定義形如.的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中都是的已知連續(xù)函數(shù)，“線性”是指未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的.②求解方法一階線性微分
5、方程的求解方法,一般有如下兩步:第一步：先用分離變量法求一階線性微分方程所對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解.第二步：設(shè)為一階線性微分方程11的解,代入該方程后,求出待定函數(shù).第三步:將代入中,得所求一階線性微分方程的通解.注意只要一階線性微分方程是的標(biāo)準(zhǔn)形式,則將代入一階線性微分方程后,整理化簡后,必有,該結(jié)論可用在一階線性微分方程的求解過程中,以簡化運(yùn)算過程.③一階線性微分方程的求解公式(其中為任意常數(shù)).⑵ 二階常系數(shù)齊次線性微分方程①定義 形如的微分方程（其中均為已知常數(shù)，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程.②求解方法求解二階常系
6、數(shù)齊次線性微分方程,一般分為如下三步:第一步寫出方程的特征方程，第二步求出特征方程的兩個(gè)特征根,，第三步根據(jù)下表給出的三種特征根的不同情形，寫出的通解.有兩個(gè)不同特征實(shí)根有兩個(gè)相同特征實(shí)根有一對共軛復(fù)根i⑶二階常系數(shù)非齊次線性微分方程①定義 形如的微分方程（其中均為已知常數(shù)），稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.②求解方法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,一般分為如下三步:11第一步先求出非齊次線性微分方程所對應(yīng)的齊次線性微分方程方程的通解;第二步根據(jù)下表設(shè)出非齊次線性微分方程的含待定常數(shù)的特解,并將代入非齊次線性微分方程解出待定
7、常數(shù),進(jìn)而確定非齊次方程的一個(gè)特解;第三步寫出非齊次線性微分方程的通解.方程的特解的形式表自由項(xiàng)的形式特解的形式的設(shè)法不是特征根是特征單根是二重特征根或①令,構(gòu)造輔助方程=②求出輔助方程的特解③則是方程特解是方程特解注:表中的為已知的次多項(xiàng)式，為待定的次多項(xiàng)式，如（為待定常數(shù)）.4.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)⑴二階齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數(shù)和是齊次線性微分方程的兩個(gè)解，則函數(shù)也是方程的解；且當(dāng)與線性無關(guān)時(shí)，就是方程的通解（其中是任意常數(shù)）.⑵非齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數(shù)為非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，為齊次線性
8、微分方程的通解，則為該非齊次線性微分方程的通解.⑶非齊次線性微分方程解的分離定理如果是方程的解，是方程的解，則11是方程的解.5.高階微分方程的降階法方程的形式引入的形式降階后的方程設(shè)設(shè)則對方程兩邊逐次積分次，即可得到該方程的通解二、主要解題方法1．一階微分方程
