高等數(shù)學(xué)微分方程復(fù)習(xí)

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1、微分方程求解總結(jié)求解流程圖1.折線積分2.湊全微分3.定積分轉(zhuǎn)為z的一階線性關(guān)于u一階二階變系數(shù)二階一階二階常系數(shù)解的結(jié)構(gòu)P338P348一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類(lèi)型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變

2、量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法1這是一個(gè)齊次方程.方法2化為微分形式故這是一個(gè)全微分方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫(xiě)為(貝努里方程)(分離變量方程)原方程化為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束變方程為兩邊乘積分因子用湊微分法得通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求

3、F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)由一階線性微分方程解的公式得于是練習(xí)題:(題3只考慮方法及步驟)P353題2求以為通解的微分方程.提示:消去C得P353題3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分離變量方程:提示:這是一階線性方程,其中P353題1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:可化為關(guān)于x的一階線性方程提示:為貝努里方程,令提示:為全微分方程,通解提示:可化為貝努里方程令微

4、分倒推公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原方程化為,即則故原方程通解提示:令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、兩類(lèi)二階微分方程的解法1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法歐拉方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:(1)寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程(2)求出特征方程的兩個(gè)根(3)根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況,按照下列規(guī)則寫(xiě)出微分方程的通解求解二階常系數(shù)線性方程非齊通解齊次通解非齊特解難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.(3).上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.解答提

5、示P353題2求以為通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P353題3求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變?yōu)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項(xiàng)改為提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P354題4(2)求解提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問(wèn)題改為求解則求解過(guò)程中得問(wèn)開(kāi)方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P354題8設(shè)函數(shù)在r>0內(nèi)滿足拉普拉斯方程二階可導(dǎo),且試將方程化為以r為自變量的常微分方程,并求f(r).提

6、示:利用對(duì)稱(chēng)性,即(歐拉方程)原方程可化為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解初值問(wèn)題:則原方程化為通解:利用初始條件得特解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特征根:例1.求微分方程提示:故通解為滿足條件解滿足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解:代入方程定A,B,得得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問(wèn)題的解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.且滿足方程提示:則問(wèn)題化為解初值問(wèn)題:最后求得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:設(shè)提示:對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的解.例3.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)試將x＝x(

7、y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件數(shù),且解:上式兩端對(duì)x求導(dǎo),得:(1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(03考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束代入原微分方程得①(2)方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:題目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由初始條件得故所求初值問(wèn)題的解為例4.解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球引力,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為h,由牛頓第二定律得:②(G為引力系數(shù))則有初值問(wèn)題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度

8、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束