特征函數(shù)及其應(yīng)用

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1、特征函數(shù)及其應(yīng)用摘要在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布問題是經(jīng)常遇到的，經(jīng)過人們不斷的探索和研究，終于發(fā)現(xiàn)了另一個(gè)重要工具——特征函數(shù)，它是處理許多概率論問題的有力工具，它能把尋求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布的卷積運(yùn)算（積分運(yùn)算）轉(zhuǎn)換成乘法運(yùn)算，本文介紹了特征函數(shù)的基本概念、主要性質(zhì)以及特函數(shù)的一系列應(yīng)用.[關(guān)鍵詞]隨機(jī)變量特征函數(shù)積分10ABSTRACTInprobabilitytheoryandmathematicalstatistics,findthedistributionofindependentrandomvariablesandtheproblemisoft

2、enencounteredafterpeoplecontinuetoexploreandresearch,finallyfoundanotherimportanttool-characteristicfunction,itistodealwithmanyproblemsofprobabilitytheorypowerfultool,itcanseekindependentrandomvariablesandthedistributionofconvolution(integralcomputation)intoamultiplication,thisarticleintro

3、ducesthebasicconceptsofcharacteristicfunction,themaincharacterandthespecialfunctionofthenumberofapplications.[KeyWords]Randomvariable,Characteristicfunction,Integration10目錄一、引言1二、特征函數(shù)的定義2三、常用分布的特征函數(shù)2四、特征函數(shù)的主要性質(zhì)3五、特征函數(shù)的應(yīng)用6六、結(jié)論10參考文獻(xiàn)11致　謝1210特征函數(shù)及其應(yīng)用一、引言隨機(jī)變量是數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常遇到的一項(xiàng)重要內(nèi)容。隨機(jī)變量的分布函數(shù)則可以全面的描

4、述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但是，有時(shí)候分布函數(shù)或分布密度這些工具使用起來并不方便，如求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布密度，用卷積求太煩瑣和復(fù)雜，這里將從介紹特征函數(shù)的定義、性質(zhì)出發(fā),介紹如何用特征函數(shù)更方便、優(yōu)越的表示隨機(jī)變量的分布,并在隨機(jī)變量的基本性質(zhì)引導(dǎo)下,討論并闡述特征函數(shù)的各種應(yīng)用.特征函數(shù)也是概率論中研究極限定理的重要工具。.10二、特征函數(shù)的定義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱,,為的特征函數(shù).因?yàn)?，所以總是存在的，即任一隨機(jī)變量的特征函數(shù)總是存在的.當(dāng)離散隨機(jī)變量的分布列為，則的特征函數(shù)為,.當(dāng)連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,則的特征函數(shù)為,.與隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差及各階矩陣一樣，特征

5、函數(shù)只依賴于隨機(jī)變量的分布，分布相同則特征函數(shù)也相同，所以我們也常稱為某分布的特征函數(shù).三、常用分布的特征函數(shù)1、單點(diǎn)分布：其特征函數(shù)為2、分布：，其特征函數(shù)為，其中.3、泊松分布：，k=0,1，，其特征函數(shù)為10.4、均勻分布：因?yàn)槊芏群瘮?shù)為所以特征函數(shù)為.5、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：因?yàn)槊芏群瘮?shù)為，.所以特征函數(shù)為=.其中.四、特征函數(shù)的主要性質(zhì)現(xiàn)在我們來研究一下特征函數(shù)的一些性質(zhì)，其中表示的特征函數(shù).1、.證明=.2、,其中表示的共軛.證明=.103、若Y=,其中，是常數(shù)，則.證明.4、獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)為特征函數(shù)的積，即設(shè)與相互獨(dú)立，則.證明因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與也是相

6、互獨(dú)立的，從而有.5、若存在，則的特征函數(shù)可次求導(dǎo)，且對1k,有.證明因?yàn)榇嬖?，也就是，于是含參變量的廣義積分可以對求導(dǎo)次，于是對，有,令=0即得.6、一致連續(xù)性隨機(jī)變量的特征函數(shù)在（）上一致連續(xù).證明設(shè)是連續(xù)隨機(jī)變量（離散隨機(jī)變量的證明是類似的），其密度函數(shù)為，則對任意實(shí)數(shù)，和正數(shù)>0,有10.對任意的，先取定一個(gè)充分大的，使得，然后對任意的x，只要取，則當(dāng)時(shí)，便有2.從而對所有的t，有，即在上一致連續(xù).7、非負(fù)定性隨機(jī)變量的特征函數(shù)是非負(fù)定的，即對任意正整數(shù)，及個(gè)實(shí)數(shù)和個(gè)復(fù)數(shù)，有.證明設(shè)是連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，則有====.108、唯一性定理隨機(jī)變量的分布函數(shù)有其

7、特征函數(shù)唯一確定.證明對的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，當(dāng)沿著的連續(xù)點(diǎn)趨于時(shí)，由逆轉(zhuǎn)公式得，而分布函數(shù)由其連續(xù)點(diǎn)上的值惟一決定，故結(jié)論成立.9、若為連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，特征函數(shù)為，如果，則.證明記的分布函數(shù)為，由逆轉(zhuǎn)公式知=.再次利用不等式，就有.又因?yàn)?，所以可以交換極限號和積分號，即=.五、特征函數(shù)的應(yīng)用1、在求數(shù)字特征上的應(yīng)用求分布的數(shù)學(xué)期望和方差.由于的分布的特征函數(shù)為,于是由得，10,,由此即得.我們可以看出用特征函數(shù)求正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差,要比從定義計(jì)算方便的多.2、在求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布上的應(yīng)用利用歸納法