柯西—許瓦茲不等式

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1、（1）設(shè)為階正定矩陣，則成立。證明因?yàn)闉殡A正定矩陣，所以存在可逆矩陣使得，，，顯然是階正定矩陣，它的特征值全為正的，由矩陣的特征值和跡在相似變換下保持不變，于是。（2）設(shè)為階半正定矩陣，則成立。證明對(duì)任意，有為階正定矩陣，令，由連續(xù)性,可知,。定理(Cauchy-Schwarz不等式)設(shè)在上可積，則有。證明證法一對(duì)區(qū)間的任意分割：，任取，，，記，；由于成立，在上式中，令取極限，則得到；證法二考慮二次函數(shù)，；如果，在上式中取，得到，13從而，于是成立；如果，則對(duì)，成立，必有，此時(shí)自然成立，。（幾乎以前所有的人，都忽略了這種情

2、況。）故結(jié)論得證?？挛鳌S瓦茲不等式，Holder不等式的應(yīng)用例題定理11（Newman不等式）設(shè)正整數(shù),實(shí)數(shù),且，則有.證明由于，所以.定理5設(shè)且，則有。證明方法一由,得.方法二利用Holder不等式,得13由幾何平均算術(shù)平均不等式,得，于是，方法三考慮函數(shù),在,下的條件極值。1．（Klamkin）不等式定理1設(shè)且.則有.證明.考慮函數(shù),在下的條件極值,即可獲證。定理2設(shè)且則成立.證明證法一利用條件及三元幾何平均算術(shù)平均不等式,得，結(jié)果得證。證法二.定理3設(shè)且,則成立.13證明，結(jié)果成立。Bernoulli不等式的應(yīng)用定

3、理1(貝努利不等式)設(shè)，實(shí)數(shù)都大于，并且它們都有著相同的符號(hào)，則成立；特別地，當(dāng)，且，成立，（，）。P15572（Weierstrass不等式）定理2（Weierstrass不等式）設(shè)（）都是正實(shí)數(shù)，且，則成立（1）；（2）。推論2設(shè),且.則成立.證明利用Bernoulli不等式，得P15268設(shè)是不全相等的正數(shù)，記則當(dāng)時(shí)，有證明利用幾何平均算術(shù)平均不等式，得，13于是推論當(dāng)時(shí)，有。證明。P15269（1）設(shè)均為正數(shù)，且則。證明利用Young不等式，得由此，結(jié)果得證。直接利用H?lder不等式定理12設(shè)正整數(shù),有理數(shù),且,

4、對(duì)任意實(shí)數(shù),成立.P15573設(shè)則（1）不等式）；（2）。證明（1）方法一利用在上的凸性，得到，再令，即可得證。方法二直接利用H?lder不等式的推論，得到13,即結(jié)果得證;（2）直接利用幾何算術(shù)平均不等式,即可得到證明.Cauchy不等式的應(yīng)用。;.,其中設(shè)，則有證明，，于是結(jié)果得證。127設(shè)則證明利用Cauchy-Schwarz不等式得13又，，于是從而，結(jié)果得證。例設(shè)且.則。證明由Cauchy—Schwarz不等式，于是P182145（Shapiro不等式）設(shè)令，則僅當(dāng)所有相等時(shí)等號(hào)成立。證法一利用Cauchy—Sc

5、hwarz不等式，得從而。13證法二再由，，于是，從而故得.P185150設(shè)且.則證明由得，利用Cauchy—Schwarz不等式，得，，再由,,13,故得。P175126證明利用三角不等式，得P175127設(shè)均為正數(shù)，表示集合的全部置換的集合，則。證明利用Minkowski不等式和Jensen不等式，得，任意。于是，結(jié)論得證。P178.Peetre不等式：設(shè)，則成立證明由得同理13當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立,故結(jié)果得證.拋物距離設(shè)，，定義，則是定義在上的一個(gè)距離。事實(shí)上對(duì)任意，。定理12設(shè)正整數(shù),有理數(shù),且,對(duì)任意實(shí)

6、數(shù),成立.P11乘積型Minkowski不等式:（1）設(shè)，則。證明利用Holder不等式，得13（1）行列式的Minkowski不等式：設(shè)為階正定矩陣，則成立,式中表示相應(yīng)的行列式。證明因?yàn)闉殡A正定矩陣，所以亦是正定矩陣，的特征值為正，設(shè)的特征值為，則有于是。由連續(xù)性,可知,設(shè)為階半正定矩陣，則成立,式中表示相應(yīng)的行列式.P355例5.1.29設(shè)試證如下級(jí)數(shù)收斂。證明，顯然單調(diào)遞增，故級(jí)數(shù)收斂。13例設(shè)若發(fā)散，試證證明由于,由,由條件知，,從而得于是,即得定理(Minkowski不等式)設(shè)在上可積，則有.證明因?yàn)?，若，則不

7、等式自然成立；若，則消去公因子，所以1.用Cauchy-Schwarz不等式證明（1）若f(x)在[a,b]上可積，則;13（1）若f(x)在[a,b]上可積，且，則在[a,b]上可積；且.13