數(shù)學(xué)論文-柯西—施瓦茲不等式探討

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1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2010屆畢業(yè)論文柯西——施瓦茲不等式探討作者:張道皇指導(dǎo)老師:唐燕玉摘要：柯西—施瓦茲不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。本文在證明不等式，解三角形相關(guān)問題，應(yīng)用方面給出幾個(gè)例子。近年來，許多學(xué)者在不同條件下提出柯西—施瓦茲不等式多種表現(xiàn)形式，并且對(duì)其性質(zhì)及應(yīng)用做了廣泛而深入的研究，本文在已有的文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，總結(jié)出了柯西—施瓦茲不等式4種表現(xiàn)形式及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。本文的結(jié)論是對(duì)柯西—施瓦茲不等式理論的進(jìn)一步深化，也是對(duì)現(xiàn)有文

2、獻(xiàn)中相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行改善。關(guān)鍵詞：柯西—施瓦茲不等式證明應(yīng)用引言：柯西—施瓦茲不等式是一個(gè)非常重要的不等式，在證明不等式、解三角形相關(guān)問題、數(shù)學(xué)分析中都有重要應(yīng)用，本文在已有的文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，總結(jié)了柯西—施瓦茲不等式4種表現(xiàn)形式，并且給出其一些應(yīng)用性的例子?？挛鳎–auchy）不等式在代數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立（k為常數(shù)，）現(xiàn)將它的證明介紹如下：證明1：（判別式法），關(guān)于小的二次三項(xiàng)式保持非負(fù)，故判別式，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立證明2數(shù)學(xué)歸納法（1）當(dāng)時(shí)左式=右式=顯然左式=右式當(dāng)時(shí)，右式右式僅當(dāng)即即

3、時(shí)等號(hào)成立故時(shí)不等式成立（2）假設(shè)時(shí)，不等式成立第10頁共10頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2010屆畢業(yè)論文即當(dāng)，k為常數(shù)，或時(shí)等號(hào)成立設(shè)則當(dāng)，k為常數(shù)，或時(shí)等號(hào)成立即時(shí)不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立；證明3（配方法）因故柯西不等式獲證。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)成立?？挛鞑坏仁皆趲缀沃斜憩F(xiàn)形式柯西不等式的代數(shù)形式十分簡(jiǎn)單，但卻非常重要。數(shù)學(xué)當(dāng)中沒有巧遇，凡是重要的結(jié)果都應(yīng)該有一個(gè)解釋，一旦掌握了它，就使這個(gè)結(jié)果變得不言而喻了。而一個(gè)代數(shù)結(jié)果最簡(jiǎn)單的解釋，通常駐要借助于幾何背景?，F(xiàn)在就對(duì)柯西不等式的二

4、維、三維情況做出幾何解釋。（1）二維形式第10頁共10頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2010屆畢業(yè)論文如圖，可知線段，及的長(zhǎng)度分別由下面的式子給出：表示與的夾角。由余弦定理，我們有將，，的值代入，化簡(jiǎn)得到而，故有于是　　這就是柯西不等式的二維形式。我們可以看到當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)是零或平角，亦即當(dāng)且僅當(dāng)在同一條直線上是時(shí)等號(hào)成立。在這種情形，斜率之間必定存在一個(gè)等式；換句話說，除非，我們們總有.（2）三維形式　　　對(duì)于三維情形，設(shè)是不同于原點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，則與之間的夾角的余弦有第10頁共10頁安慶師范學(xué)

5、院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2010屆畢業(yè)論文　　　　又由，得到柯西不等式的三維形式：　　　　當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí)只要這里的都不是零，就有柯西不等式的推廣前面的柯西不等式都是限制在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)同樣也有柯西不等式成立。定理：若和是兩個(gè)復(fù)數(shù)序列，則有　　　　　　，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列和成比例時(shí)等式成立。證明：設(shè)是復(fù)數(shù)，有恒等式若（其中），則有由此推出了復(fù)數(shù)形式的柯西不等式。除此之外，我們還可以知道一些與柯西不等式相關(guān)的結(jié)論。定理1：若和是實(shí)數(shù)列，且，則當(dāng)時(shí)，這個(gè)不等式即為柯西不等式。　　定理2

6、：若和是正數(shù)序列，且或第10頁共10頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2010屆畢業(yè)論文，則　　這個(gè)不等式實(shí)際上是Holder不等式的推論。對(duì)于柯西不等式，除了這種數(shù)列形式之外，還存在積分形式的柯西不等式即施瓦茲不等式?？挛鞑坏仁皆诜治鲋械谋憩F(xiàn)形式即施瓦茲不等式定理：設(shè)和是在上的實(shí)可積函數(shù)，則　　　　　　當(dāng)且僅當(dāng)和是線性相關(guān)函數(shù)時(shí)等式成立。證明1：對(duì)任意實(shí)數(shù),　有　即　即證明2：將n等分，令，應(yīng)用柯西不等式，令取極限，即證得。證明3：這就證明了施瓦茲不等式。由此可看出，如果連續(xù)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在（不全為

7、零）使得時(shí)成立。第10頁共10頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2010屆畢業(yè)論文柯西不等式形式在概率中表現(xiàn)形式定理：對(duì)任意隨機(jī)變量和都有　.等式成立當(dāng)且僅當(dāng).這里是一個(gè)常數(shù)。證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義；顯然對(duì)一切，，因此二次方程或者沒有實(shí)數(shù)根或者有一個(gè)重根，所以，.此外，方程有一個(gè)重根存在的充要條件是.這時(shí).因此，.有了這個(gè)結(jié)論，對(duì)于解決一些復(fù)雜的概率題時(shí)會(huì)有所幫助。1）證明不等式例1已知正數(shù)滿足證明證明：利用柯西不等式又因?yàn)樵诖瞬坏仁絻蛇呁艘?，再加上得：故2）解三角形的相關(guān)問題例2設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到

8、三邊的距離，是外接圓的半徑，證明第10頁共10頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2010屆畢業(yè)論文證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。3）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》〉一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。現(xiàn)記，，則，，由柯西不等式有，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，為常數(shù)。點(diǎn)均在直線上，當(dāng)時(shí)，即而第10頁共10頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)