數(shù)學論文-柯西—施瓦茲不等式探討

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1、安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2010屆畢業(yè)論文柯西——施瓦茲不等式探討作者:張道皇指導老師:唐燕玉摘要：柯西—施瓦茲不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。本文在證明不等式，解三角形相關(guān)問題，應用方面給出幾個例子。近年來，許多學者在不同條件下提出柯西—施瓦茲不等式多種表現(xiàn)形式，并且對其性質(zhì)及應用做了廣泛而深入的研究，本文在已有的文獻基礎(chǔ)上，總結(jié)出了柯西—施瓦茲不等式4種表現(xiàn)形式及其在數(shù)學中的應用。本文的結(jié)論是對柯西—施瓦茲不等式理論的進一步深化，也是對現(xiàn)有文

2、獻中相應結(jié)論進行改善。關(guān)鍵詞：柯西—施瓦茲不等式證明應用引言：柯西—施瓦茲不等式是一個非常重要的不等式，在證明不等式、解三角形相關(guān)問題、數(shù)學分析中都有重要應用，本文在已有的文獻基礎(chǔ)上，總結(jié)了柯西—施瓦茲不等式4種表現(xiàn)形式，并且給出其一些應用性的例子?？挛鳎–auchy）不等式在代數(shù)學中的表現(xiàn)形式等號當且僅當或時成立（k為常數(shù)，）現(xiàn)將它的證明介紹如下：證明1：（判別式法），關(guān)于小的二次三項式保持非負，故判別式，當且僅當即時等號成立證明2數(shù)學歸納法（1）當時左式=右式=顯然左式=右式當時，右式右式僅當即即

3、時等號成立故時不等式成立（2）假設(shè)時，不等式成立第10頁共10頁安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2010屆畢業(yè)論文即當，k為常數(shù)，或時等號成立設(shè)則當，k為常數(shù)，或時等號成立即時不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立；證明3（配方法）因故柯西不等式獲證。等號當且僅當成立?？挛鞑坏仁皆趲缀沃斜憩F(xiàn)形式柯西不等式的代數(shù)形式十分簡單，但卻非常重要。數(shù)學當中沒有巧遇，凡是重要的結(jié)果都應該有一個解釋，一旦掌握了它，就使這個結(jié)果變得不言而喻了。而一個代數(shù)結(jié)果最簡單的解釋，通常駐要借助于幾何背景?，F(xiàn)在就對柯西不等式的二

4、維、三維情況做出幾何解釋。（1）二維形式第10頁共10頁安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2010屆畢業(yè)論文如圖，可知線段，及的長度分別由下面的式子給出：表示與的夾角。由余弦定理，我們有將，，的值代入，化簡得到而，故有于是　　這就是柯西不等式的二維形式。我們可以看到當且僅當，即當且僅當是零或平角，亦即當且僅當在同一條直線上是時等號成立。在這種情形，斜率之間必定存在一個等式；換句話說，除非，我們們總有.（2）三維形式　　　對于三維情形，設(shè)是不同于原點的兩個點，則與之間的夾角的余弦有第10頁共10頁安慶師范學

5、院數(shù)學與計算科學學院2010屆畢業(yè)論文　　　　又由，得到柯西不等式的三維形式：　　　　當且僅當三點共線時，等號成立；此時只要這里的都不是零，就有柯西不等式的推廣前面的柯西不等式都是限制在實數(shù)范圍內(nèi)的，在復數(shù)范圍內(nèi)同樣也有柯西不等式成立。定理：若和是兩個復數(shù)序列，則有　　　　　　，當且僅當數(shù)列和成比例時等式成立。證明：設(shè)是復數(shù)，有恒等式若（其中），則有由此推出了復數(shù)形式的柯西不等式。除此之外，我們還可以知道一些與柯西不等式相關(guān)的結(jié)論。定理1：若和是實數(shù)列，且，則當時，這個不等式即為柯西不等式。　　定理2

6、：若和是正數(shù)序列，且或第10頁共10頁安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2010屆畢業(yè)論文，則　　這個不等式實際上是Holder不等式的推論。對于柯西不等式，除了這種數(shù)列形式之外，還存在積分形式的柯西不等式即施瓦茲不等式。柯西不等式在分析中的表現(xiàn)形式即施瓦茲不等式定理：設(shè)和是在上的實可積函數(shù)，則　　　　　　當且僅當和是線性相關(guān)函數(shù)時等式成立。證明1：對任意實數(shù),　有　即　即證明2：將n等分，令，應用柯西不等式，令取極限，即證得。證明3：這就證明了施瓦茲不等式。由此可看出，如果連續(xù)，等號當且僅當存在（不全為

7、零）使得時成立。第10頁共10頁安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2010屆畢業(yè)論文柯西不等式形式在概率中表現(xiàn)形式定理：對任意隨機變量和都有　.等式成立當且僅當.這里是一個常數(shù)。證明：對任意實數(shù)，定義；顯然對一切，，因此二次方程或者沒有實數(shù)根或者有一個重根，所以，.此外，方程有一個重根存在的充要條件是.這時.因此，.有了這個結(jié)論，對于解決一些復雜的概率題時會有所幫助。1）證明不等式例1已知正數(shù)滿足證明證明：利用柯西不等式又因為在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故2）解三角形的相關(guān)問題例2設(shè)是內(nèi)的一點，是到

8、三邊的距離，是外接圓的半徑，證明第10頁共10頁安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2010屆畢業(yè)論文證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。3）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》〉一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小。現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)記，，則，，由柯西不等式有，當時，此時，，為常數(shù)。點均在直線上，當時，即而第10頁共10頁安慶師范學院數(shù)學與計