蔡氏電路及混沌現(xiàn)象研究

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1、蔡氏電路及混沌現(xiàn)象研究一、引言在非線性電路中蔡氏電路是迄今為止產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的最為有效和較為簡(jiǎn)單的電路之一?；煦?chaos)現(xiàn)象的研究是非線性系統(tǒng)理論研究中的前沿課題之一,混沌現(xiàn)象普遍存在物理、化學(xué)、生物學(xué)，以及社會(huì)科學(xué)等等各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中,是在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無(wú)規(guī)則、類(lèi)似隨機(jī)的現(xiàn)象,是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特有的一種運(yùn)動(dòng)形式。蔡氏電路是一個(gè)能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的最簡(jiǎn)單三階自治電路[1]。1983年，美籍華裔科學(xué)家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏電路(chua’scircuit)。它是歷史上第一例用電子電路來(lái)證實(shí)混沌現(xiàn)象的電路，也是迄今為止在非線性電路中產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的

2、最為有效和較為簡(jiǎn)單的電路之一。通過(guò)改變蔡氏電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或電路參數(shù)，可以產(chǎn)生倍周期分叉、單渦卷、周期3、雙渦卷吸引子、多渦卷吸引子等十分豐富的混沌現(xiàn)象。因此，蔡氏電路開(kāi)啟了混沌電子學(xué)的大門(mén)，人們已圍繞它開(kāi)展了混沌機(jī)理的探索、混沌在保密通信中的應(yīng)用研究，并取得了一系列豐碩的成果。圖1(a)是蔡氏電路的電路拓?fù)鋱D，它是一個(gè)三階電路，有兩個(gè)電容、一個(gè)電感、一個(gè)線性電阻，并含有一個(gè)非線性電阻元件NR，它的伏一安特性曲線如圖1(b)所示，是一個(gè)分段線性函數(shù)，中間一段呈現(xiàn)負(fù)電阻的特征，它可以用開(kāi)關(guān)電源等電子電路來(lái)實(shí)現(xiàn)?？紤]圖1(a)的電路，非線性電阻的伏安特性曲線由圖1(b)給出。蔡氏

3、電路的動(dòng)力學(xué)特性由下列各式描述：其中vc1，vc2和iL分別是C1，C2兩端的電壓以及流過(guò)￡的電流，g(vc1)是圖(6)所示的分段線性化函數(shù)，G=1／R。該電路描述可以寫(xiě)成無(wú)量綱的形式(即下面的正規(guī)化狀態(tài)方程)：其中，α1和α2是參數(shù)，K(·)是非線性函數(shù)，滿足如下方程：其中m0和m1是參數(shù)。給定適當(dāng)?shù)膮?shù)，該系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌行為。方程(2)是非線性的微分方程組，一般需要用四階龍格一庫(kù)塔算法這樣的數(shù)值方法求解。其算法思想如下：基于Tavlor級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法，利用f在某些點(diǎn)處函數(shù)值的線性組合構(gòu)造差分方程，從而避免高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。用MATLAB可以對(duì)方程求解并進(jìn)行仿真，各參數(shù)的

4、取值為(α1=9，α2=-100／7，mo=一1／7，m1=2／7)。得出單變量x，v，z隨時(shí)間t變化的序列圖分別如圖3，圖4，圖5所示:從仿真結(jié)果圖可以，蔡氏電路的正規(guī)化狀態(tài)方程描述了一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)在所給參數(shù)和初值的條件下可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象。x—y，x—z，y—z及x—y—z的相平面圖分別如圖6，圖7，圖8，圖9所示[2]：二、國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多關(guān)于蔡氏電路和混沌現(xiàn)象的研究有許多的新進(jìn)展。2.1國(guó)外研究現(xiàn)狀EleonoraBilotta對(duì)于N相同的混沌震蕩器進(jìn)行了數(shù)值仿真，它們都是在同一個(gè)幾何環(huán)內(nèi)耦合了對(duì)稱(chēng)和耗散[3]。簡(jiǎn)單的混沌

5、信號(hào)是一個(gè)基于憶阻的蔡氏電路，其中二極管被含有三次非線性的憶阻器代替[4]。兩個(gè)回路的雙向耦合通過(guò)電阻得到，并且對(duì)于每一對(duì)系統(tǒng)是相同的。他們采用了兩種初始條件：僅一個(gè)初始條件不為0的回路，或者所有電路有均勻隨機(jī)的初始條件。為了研究可能的同步機(jī)制和可能出現(xiàn)的現(xiàn)象，他們通過(guò)改變相互作用系統(tǒng)的耦合與數(shù)量，進(jìn)行了幾次計(jì)算機(jī)仿真。他們發(fā)現(xiàn)了同步機(jī)制和環(huán)內(nèi)新出現(xiàn)的波。特別的是，對(duì)于高度耦合（例如阻值較低的Rc），他們發(fā)現(xiàn)了對(duì)于兩種初始條件下的混沌完全同步機(jī)制。不管還是N變大，這種同步在混沌中演化成間歇性的相位同步。脈沖同步的振幅隨著Rc的增大而增大，經(jīng)過(guò)一個(gè)臨界的Rc*值，電路轉(zhuǎn)化為非

6、混沌的同步機(jī)制，同時(shí)帶有偽正弦的震蕩。在混沌體制（RcRc*引起的系統(tǒng)從混沌到非混沌體制所增加的不穩(wěn)定性。對(duì)于Rc>Rc*的情況，取決于初始條件，兩種宏觀的波能夠在環(huán)內(nèi)出現(xiàn)。在環(huán)內(nèi)僅有一個(gè)回路有非零初始條件的情況下，宏觀的偽周期穩(wěn)態(tài)波能夠出現(xiàn)，它以低振幅震蕩回路出現(xiàn)的結(jié)果出現(xiàn)，并且這些回路是波的結(jié)點(diǎn)。相反地，對(duì)于Rc>Rc*均勻隨機(jī)初始條件，他們發(fā)現(xiàn)了行進(jìn)波順時(shí)針或逆時(shí)針沿環(huán)旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象?？赡艹霈F(xiàn)的波長(zhǎng)取決于環(huán)的尺度：在波長(zhǎng)λf=N的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加N的值，他們也發(fā)現(xiàn)了波長(zhǎng)(λ

7、=λf/2,λ=λf/3,λ=λf/4)可能逐漸減小的波。行進(jìn)波的周期T在所有仿真的例子中是相同的，因此不同的波長(zhǎng)意味著不同的波速v=λ/T。最后，對(duì)于非常低的耦合情況，他們發(fā)現(xiàn)混沌和非混沌震蕩回路的共存性，這也給了環(huán)內(nèi)穩(wěn)態(tài)和行進(jìn)波同時(shí)出現(xiàn)的曙光。這些結(jié)果證實(shí)了由于耦合混沌震蕩引起的自治動(dòng)力的豐富性[7]。H.Moqadasi;M.B.Ghaznavi-Ghoushchi.推薦了一個(gè)TRNG，它基于混沌雙渦卷吸引子，利用蔡氏電路建立模型，其中該電路含有一個(gè)S/H，一個(gè)ADC模塊和一個(gè)用于置亂和增加產(chǎn)生位流隨機(jī)性的L