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《抽象函數(shù)周期性對(duì)稱性》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、七、周期性與對(duì)稱性問題編號(hào)周期性對(duì)稱性1→T=2→對(duì)稱軸?是偶函數(shù)；→對(duì)稱中心（a,0）?是奇函數(shù)2→T=→對(duì)稱軸；→對(duì)稱中心；3f(x)=-f(x+a)→T=2f(x)=-f(-x+a)→對(duì)稱中心4→T=2→對(duì)稱中心5f(x)=±→T=2f(x)=b-f(-x+a)→對(duì)稱中心6f(x)=1-→T=3結(jié)論：(1)???函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a，x=b對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2
2、a-b
3、(2)???函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且
4、T=2
5、a-b
6、(3)???函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a，及點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=4
7、a-b
8、（4）應(yīng)注意區(qū)分一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性和兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性的區(qū)別:y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于對(duì)稱；y=f(a+x)與y=-f(b-x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為：一個(gè)函數(shù)的恒等式，對(duì)應(yīng)法則下的兩式相加和的一半為對(duì)稱軸：兩個(gè)同法則不同表達(dá)式的函數(shù)，對(duì)應(yīng)法則下的兩式相減等于0，解得的x為對(duì)稱軸）例1：①已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=–f(x)，則f(6)的值
9、為（B）A.–1B.0C.1D.2解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，又T=4，所以f(6)=f(2)=–f(0)=0。②函數(shù)f(x)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f(1+2x)=f(1-2x)，則f(2x)的圖像關(guān)于對(duì)稱。（x=1/2）練習(xí)：（2010重慶）已知函數(shù)滿足：，，則=_____________.解析：取x=1y=0得法一：通過計(jì)算，尋得周期為6法二：取x=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)聯(lián)立得f(n+2)=—f(n
10、-1)所以T=6故=f(0)=例2.已知函數(shù)y=f(x)滿足，求的值。解：由已知式知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1001）對(duì)稱。據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1001，0）對(duì)稱,所以,即=0例3.奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T>0，恒有f(x+T)=f(x)，則在區(qū)間［0，2T］上，方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)最小值為（）CA.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)解：∵f(0)=0→x1=0，又f(2T)=f(T)=f(0)=0→x2=T，x3=2T.又因?yàn)榱顇=0得,∴=0
11、.(本題易錯(cuò)選為A)例4．①f(x)滿足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調(diào)。求a的值。解：∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)關(guān)于（3，0）對(duì)稱又∵f(x)=f(2-x)∴f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱∴T=8∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∴a=6②設(shè)y=f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù)，函數(shù)y
12、=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)x[2,3]時(shí)，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a為常數(shù)且aR) ?。?）求f(x); （2）是否存在a[2,6]或a(6,+∞),使函數(shù)f(x)的圖象的最高點(diǎn)位于直線y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由. 解：（1）設(shè)點(diǎn)M(x,f(x))為函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為N(2-x,f(x)). ∵y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱. ∴點(diǎn)N(2-x,f(
13、x))在y=g(x)圖象上. 由此得f(x)=g(2-x)（利用結(jié)論4的命題易得這一結(jié)果：y=g(x)與y=g(2-x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱） 設(shè)x[-1,0]，則2-x[2,3].此時(shí)f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3 又f(x)為偶函數(shù)f(-x)=f(x),x[-1,1]. ∴當(dāng)x[0,1]時(shí)，f(x)=2ax-4x3 （2）注意到f(x)為偶函數(shù)，只須研究f(x)在[0,1]上的最大值. (ⅰ)當(dāng)a(2,6]時(shí)，由0x1得a-2x2＞0， f(x)=2x(a-2
14、x2)=≤=（當(dāng)且僅當(dāng)4=a－2,即x=[0,1]時(shí)等號(hào)成立）. 由題意知,f(x)的最大值為12,令=12得=486>,∴a>6,這與a(2,6]矛盾,故此時(shí)滿足條件的a不存在. (ⅱ)當(dāng)a=2且0≤x≤1時(shí),f(x)=4x(1－) 同理可證f(x)=(當(dāng)且僅當(dāng)2=1-,即x=時(shí)等號(hào)成立),也與已知矛盾. (ⅲ)當(dāng)a>6時(shí),設(shè)0,則f()-f()=2a(-)-4(-)=2(-)[a-2(++)]，由題設(shè)0<++<3,a>6 ∴a-2(++)>0 又-<0 ∴f()-f()<0即f()
