2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽c題評閱要點

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1、2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C題評閱要點[說明]本要點僅供參考，各賽區(qū)評閱組應根據(jù)對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。(1)如圖1，設P的坐標為(x,y)(x≥0，y≥0)，共用管道的費用為非共用管道的k倍，模型可歸結(jié)為圖1只需考慮的情形。對上述二元費用函數(shù)求最小值可得（不妨假設）(a)當時，，；(b)當時，，；(c)當時，，。對共用管道費用與非共用管道費用相同的情形只需在上式中令k=1。本小題的評閱應注意模型的正確性，結(jié)果推導的合理性及結(jié)果的完整性。(2)對于出現(xiàn)城鄉(xiāng)差別的復雜情況，模型將做以下變更：(a)首先考慮城區(qū)拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用。根據(jù)三家評估公司

2、的資質(zhì)，用加權(quán)平均的方法得出費用的估計值。注意：公司一的權(quán)值應大于公司二和公司三的權(quán)值，公司二和公司三的權(quán)值應相等。(b)假設管線布置在城鄉(xiāng)結(jié)合處的點為Q，Q到鐵路線的距離為z（參見圖2）。圖2一般情況下，連接煉油廠A和點Q到鐵路線的輸油管最優(yōu)布置應取上述(1)(b)的結(jié)果，因此管道總費用最省的數(shù)學模型成為其中t表示城鄉(xiāng)建設費用的比值。當時，取得最小值。若在建立正確的模型后，用優(yōu)化軟件進行數(shù)值求解也是可取的。兩種極端情形：當權(quán)重取為1:1:1時，P點坐標為(5.4462,1.8556)，Q點坐標為(15.0000,7.3715)，最小費用為283.5373萬元。當權(quán)重取為1:0

3、:0時，P點坐標為(5.4593,1.8481)，Q點坐標為(15.0000,7.3564)，最小費用為280.1771萬元。最終的答案依賴于權(quán)重的不同取值，但最小費用應介于280.1771萬元和283.5373萬元之間。(3)考慮各部分管道費率不等的情況。分別用記AP、PQ、PH、BQ段管道的費率，并設P和Q點的坐標分別為(x,y)、(c,z)(如圖3所示)，則總費用的表達式為圖3可以寫出F的最優(yōu)解的解析表達式，也可以用數(shù)值求解的方法得到比較精確的結(jié)果。兩種極端情形：當權(quán)重取為1:1:1時，P點坐標為(6.7310,0.1409)，Q點坐標為(15.0000,7.2839)，

4、最小費用為252.8104萬元。當權(quán)重取為1:0:0時，P點坐標為(6.7424,0.1327)，Q點坐標為(15.0000,7.2659)，最小費用為249.4422萬元。最終的答案依賴于權(quán)重的不同取值，但最小費用應介于249.4422萬元和252.8104萬元之間。注：評閱時，(2)、(3)兩小題得到最優(yōu)解的解析表達式比僅有數(shù)值結(jié)果為好。