一筆畫問題(學(xué)生)

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1、七橋問題(一筆畫問題)沿著俄國和波蘭的邊界,有一條長長的布格河。這條河流經(jīng)俄國的古城康尼斯堡——它就是今天俄羅斯西北邊界城市加里寧格勒。  布格河橫貫康尼斯堡城區(qū),它有兩條支流,一條稱新河,另一條叫舊河,兩河在城中心會合后,成為一條主流,叫做大河。在新舊兩河與大河之間,夾著一塊島形地帶,這里是城市的繁華地區(qū)。全城分為北、東、南、島四個區(qū),各區(qū)之間共有七座橋梁聯(lián)系著?! ∪藗冮L期生活在河畔、島上,來往于七橋之間。有人提出這樣一個問題:能不能一次走遍所有的七座橋,而每座橋只準(zhǔn)經(jīng)過一次?問題提出后,很多人對此很感興趣

2、,紛紛進行試驗,但在相當(dāng)長的時間里,始終未能解決。最后,人們只好把這個問題向俄國科學(xué)院院士歐拉提出,請他幫助解決?! 」?737年,歐拉接到了“七橋問題”,當(dāng)時他三十歲。他心里想:先試試看吧。他從中間的島區(qū)出發(fā),經(jīng)過一號橋到達北區(qū),又從二號橋回到島區(qū),過四號橋進入東區(qū),再經(jīng)五號橋到達南區(qū),然后過六號橋回到島區(qū)?,F(xiàn)在,只剩下三號和七號兩座橋沒有通過了。顯然,從島區(qū)要過三號橋,只有先過一號、二號或四號橋,但這三座橋都走過了。這種走法宣告失敗。歐拉又換了一種走法:  島東北島南島北  這種走法還是不行,因為五號橋還

3、沒有走過?! W拉連試了好幾種走法都不行,這問題可真不簡單!他算了一下,走法很多,共有  7×6×5×4×3×2×1=5040(種)。第5頁共5頁  好家伙,這樣一種方法,一種方法試下去,要試到哪一天,才能得出答案呢?他想:不能這樣呆笨地試下去,得想別的方法。  聰明的歐拉終于想出一個巧妙的辦法。他用A代表島區(qū)、B、C、D分別代表北、東、西三區(qū),并用曲線弧或直線段表示七座橋,這樣一來,七座橋的問題,就轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)分支“圖論”中的一個一筆畫問題,即能不能一筆頭不重復(fù)地畫出上面的這個圖形?! W拉集中精力研究了這個圖

4、形,發(fā)現(xiàn)中間每經(jīng)過一點,總有畫到那一點的一條線和從那一點畫出來的一條線。這就是說,除起點和終點以外,經(jīng)過中間各點的線必然是偶數(shù)。像上面這個圖,因為是一個封閉的曲線,因此,經(jīng)過所有點的線都必須是偶數(shù)才行。而這個圖中,經(jīng)過A點的線有五條,經(jīng)過B、C、D三點的線都是三條,沒有一個是偶數(shù),從而說明,無論從那一點出發(fā),最后總有一條線沒有畫到,也就是有一座橋沒有走到。歐拉終于證明了,要想一次不重復(fù)地走完七座橋,那是不可能的。天才的歐拉只用了一步證明,就概括了5040種不同的走法,從這里我們可以看到,數(shù)學(xué)的威力多么大呀!【一

5、筆畫問題的規(guī)律】早在18世紀(jì),瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉就找到了一筆畫的規(guī)律。歐拉認(rèn)為,能一筆畫的圖形必須是連通圖。連通圖就是指一個圖形各部分總是有邊相連的.但是,不是所有的連通圖都可以一筆畫的。能否一筆畫是由圖的奇、偶點的數(shù)目來決定的。數(shù)學(xué)家歐拉找到一筆畫的規(guī)律是:1.凡是由偶點組成的連通圖,一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點,最后一定能以這個點為終點畫完此圖。2.凡是只有兩個奇點的連通圖(其余都為偶點),一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點,另一個奇點終點。3.其他情況的圖都不能一筆畫出。(有偶數(shù)個

6、奇點除以二便可算出此圖需幾筆畫成)比如附圖:(a)為(1)情況,因此可以一筆畫成;(b)(c)(d第5頁共5頁)則沒有符合以上兩種情況,所以不能一筆畫成。補充:相關(guān)名詞的含義◎頂點與指數(shù):設(shè)一個平面圖形是由有限個點及有限條弧組成的,這些點稱為圖形的頂點,從任一頂點引出的該圖形的弧的條數(shù),稱為這個頂點的指數(shù)。◎奇頂點:指數(shù)為奇數(shù)的頂點?!蚺柬旤c:指數(shù)為偶數(shù)的頂點引例:下面兩個圖是一個小朋友一筆畫出的,你能畫出來嗎?試一試?、脾爬?、下列各圖中,哪一幅能一筆畫?試畫出來?()⑴⑵第5頁共5頁例1、下列各圖中,哪些圖

7、能夠一筆畫成,試畫出來;()⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺BAEDCF圖號⑴⑵⑶⑷⑸⑹奇數(shù)點偶數(shù)點能否一筆畫成例2、下圖是某公園的平面圖,要使游客走遍每條路且不重復(fù),問出入口應(yīng)設(shè)在哪里?NM哥尼斯堡七橋問題18世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋,將河中的兩個島和河岸連結(jié),如圖1所示。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步,于是提出了一個問題:能否一次走遍7座橋,而每座橋只許通過一次,最后仍回到起始地點?!   CGJIHDEFA例3、下圖是一座房屋的平面圖,每兩個相鄰房間之間,都有一個門相通,除中間兩人房間E和

8、F以外,每個房間都有門通向室外,你能夠不重復(fù)穿過每一道門嗎?第5頁共5頁思維訓(xùn)練題1、填空:⑴⑵⑶⑷圖⑴中,有個奇點;有個偶點;圖⑵中,有個奇點;有個偶點;圖⑶中,有個奇點;有個偶點;圖⑷中,有個奇點;有個偶點;上面各圖中,能一筆畫出;不能一筆畫出;2、下列各圖中,哪些能一筆畫出?哪些不能一筆畫出?能一筆畫出的,請把它們畫出來。⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼3、下圖是某公園的平面圖,要使游客走遍每

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