向量知識點(diǎn)歸納與常見題型總結(jié)

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1、向量知識點(diǎn)歸納與常見題型總結(jié)1．與向量概念有關(guān)的問題⑴向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號“＞”錯(cuò)了，而

2、

3、＞

4、

5、才有意義.⑵有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無關(guān).由于一切向量有其共性（大小和方向），故我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量.⑶平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要條件.⑷單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為（）,其中、滿足＝1（可用（cos,sin）（0≤≤2π）表示）

6、.特別：表示與同向的單位向量。例如：向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；例1、O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C不共線，P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過三角形的內(nèi)心。(變式)已知非零向量與滿足(+)·=0且·=,則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形(06陜西)⑸的長度為0，是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0僅僅是一個(gè)無方向的實(shí)數(shù).⑹有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段.（7）相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)2．與向量運(yùn)算有關(guān)的問題⑴向量與向量相加，其和仍是一個(gè)向量.（三

7、角形法則和平行四邊形法則）①當(dāng)兩個(gè)向量和不共線時(shí)，的方向與、都不相同，且

8、

9、＜

10、

11、＋

12、

13、；②當(dāng)兩個(gè)向量和共線且同向時(shí)，、、的方向都相同，且；③當(dāng)向量和反向時(shí)，若

14、

15、＞

16、

17、，與方向相同，且

18、

19、=

20、

21、-

22、

23、；若

24、

25、＜

26、

27、時(shí),與方向相同，且

28、＋

29、=

30、

31、-

32、

33、.⑵向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算.三角形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點(diǎn)的向量求和。6;例2：P是三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若，則P一定在（）A、內(nèi)部B、AC邊所在的直線上C、AB邊上D、BC邊上例3、若，則△ABC是：A.Rt△B.銳角△C.鈍角△D.等腰Rt△特別的：

34、,例4、已知向量，求的最大值。⑶圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量.如，,（在△ABC中）.(□ABCD中)⑷判定兩向量共線的注意事項(xiàng)：共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．如果兩個(gè)非零向量，，使=λ（λ∈R），那么∥；反之，如∥，且≠0，那么=λ.這里在“反之”中，沒有指出是非零向量，其原因?yàn)?0時(shí)，與λ的方向規(guī)定為平行.⑸數(shù)量積的8個(gè)重要性質(zhì)①兩向量的夾角為0≤≤π.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).②設(shè)、都是非零向量，是

35、單位向量，是與的夾角，則③（∵=90°，④在實(shí)數(shù)運(yùn)算中=0=0或b=0.而在向量運(yùn)算中==或=是錯(cuò)誤的，故或是=0的充分而不必要條件.⑤當(dāng)與同向時(shí)=(=0,cos=1);當(dāng)與反向時(shí)，=-(=π,cos=-1)，即∥的另一個(gè)充要條件是.當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；特殊情況有=?；?==.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,),(,),則=⑥。（因）⑦數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如（因?yàn)榕c共線，而與共線）6⑧數(shù)量積的消去律不成立.若、、是非零向量且并不能得到這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù)，即是無

36、意義的.例5.如已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______；例6、已知,為相互垂直的單位向量，，。且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。(6)向量b在方向上的投影︱b︱cos＝(7)和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)特別：.＝則是三點(diǎn)P、A、B共線的充要條件.注意：起點(diǎn)相同，系數(shù)和是1?；滓欢ú还簿€例7、已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)O），則S200＝（）A．50B.51C.100D.101例8、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),,若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_______.例9、已知點(diǎn)A,,B,C的坐

37、標(biāo)分別是.若存在實(shí)數(shù),使,則的值是:A.0B.1C.0或1D.不確定例10下列條件中，能確定三點(diǎn)不共線的是：A．B．C．D．分析：本題應(yīng)知：“共線，等價(jià)于存在使且”。(8)①在中，為的重心，特別地為的重心；則過三角形的重心；②為的垂心；③向量所在直線過的內(nèi)心(的角分線所在直線)；④的內(nèi)心；(選)6⑤S⊿AOB＝;例11、設(shè)平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（）A．BC．D．例12、若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為____；例13、若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為__