向量知識(shí)點(diǎn)歸納及常見(jiàn)題型總結(jié)

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1、數(shù)學(xué)培優(yōu)網(wǎng)向量講義向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見(jiàn)題型總結(jié)一、向量知識(shí)點(diǎn)歸納1．與向量概念有關(guān)的問(wèn)題⑴向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號(hào)“＞”錯(cuò)了，而

2、

3、＞

4、

5、才有意義.⑵有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān).由于一切向量有其共性（大小和方向），故我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量.⑶平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量⑷單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為（）,其中、滿足＝1（可用（cos,sin）（0≤≤

6、2π）表示）.特別：表示與同向的單位向量。例如：向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；例1、O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C不共線，P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)三角形的內(nèi)心。(變式)已知非零向量與滿足(+)·=0且·=,則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形(06陜西)⑸的長(zhǎng)度為0，是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0僅僅是一個(gè)無(wú)方向的實(shí)數(shù).⑹有向線段是向量的一種表示方法，并不是說(shuō)向量就是有向線段.（7）相反向量(長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)2．與向量運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題⑴向量與向量相加，

7、其和仍是一個(gè)向量.（三角形法則和平行四邊形法則）①當(dāng)兩個(gè)向量和不共線時(shí)，的方向與、都不相同，且

8、

9、＜

10、

11、＋

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13、；②當(dāng)兩個(gè)向量和共線且同向時(shí)，、、的方向都相同，且；③當(dāng)向量和反向時(shí)，若

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15、＞

16、

17、，與方向相同，且

18、

19、=

20、

21、-

22、

23、；若

24、

25、＜

26、

27、時(shí),與方向相同，且

28、＋

29、=

30、

31、-

32、

33、.⑵向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算.三角形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點(diǎn)的向量求和。5數(shù)學(xué)培優(yōu)網(wǎng)向量講義;例2：P是三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若，則P一定在（）A、內(nèi)部B、AC邊所在的直線上C、AB邊上D、BC邊上例3、若，則△ABC是：A

34、.Rt△B.銳角△C.鈍角△D.等腰Rt△例4、已知向量，求的最大值。分析：通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)（這里是三角）的最值問(wèn)題，是通法。解：原式==。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值評(píng)析：其實(shí)此類問(wèn)題運(yùn)用一個(gè)重要的向量不等式“”就顯得簡(jiǎn)潔明快。原式=，但要注意等號(hào)成立的條件（向量同向）。⑶圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量.如，,（在△ABC中）.(□ABCD中)⑷判定兩向量共線的注意事項(xiàng)：共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．如果兩個(gè)非零向量，，使=λ（λ∈R），那么∥；反之，如∥，且≠0，那么=λ.這里在“反

35、之”中，沒(méi)有指出是非零向量，其原因?yàn)?0時(shí)，與λ的方向規(guī)定為平行.⑸數(shù)量積的8個(gè)重要性質(zhì)①兩向量的夾角為0≤≤π.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).②設(shè)、都是非零向量，是單位向量，是與的夾角，則③（∵=90°，④在實(shí)數(shù)運(yùn)算中=0=0或b=0.而在向量運(yùn)算中==或=是錯(cuò)誤的，故或是=0的充分而不必要條件.⑤當(dāng)與同向時(shí)=(=0,cos=1);當(dāng)與反向時(shí)，=-(=π,cos=-1)，即∥的另一個(gè)充要條件是.當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且

36、不反向，是為鈍角的必要非充分條件；例5.如已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；5數(shù)學(xué)培優(yōu)網(wǎng)向量講義例6、已知,為相互垂直的單位向量，，。且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：由數(shù)量積的定義易得“”，但要注意問(wèn)題的等價(jià)性。解：由與的夾角為銳角，得有而當(dāng)即兩向量同向共線時(shí)，有得此時(shí)其夾角不為銳角。故.評(píng)析：特別提醒的是：是銳角與不等價(jià)；同樣是鈍角與不等價(jià)。極易疏忽特例“共線”。特殊情況有=。或===.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,),(,),則=⑥。（因）⑦數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如（因?yàn)榕c共線，而與共線）⑧數(shù)

37、量積的消去律不成立.若、、是非零向量且并不能得到這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù)，即是無(wú)意義的.(6)向量b在方向上的投影︱b︱cos＝(7)和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)特別：.＝則是三點(diǎn)P、A、B共線的充要條件.注意：起點(diǎn)相同，系數(shù)和是1?；滓欢ú还簿€例7、已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)O），則S200＝（）A．50B.51C.100D.101例8、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),,若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_______（直線AB）例9、已知點(diǎn)A,,B,C的坐標(biāo)分別是.若存在實(shí)數(shù),5數(shù)學(xué)培優(yōu)網(wǎng)向量講

38、義使,則的值是:A.0B