方程理論的擴(kuò)展——線性代數(shù)

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1、方程理論的擴(kuò)展——線性代數(shù)簡(jiǎn)介方程理論的兩個(gè)方向：一元高次方程；多元一次方程組與高次方程組發(fā)展的結(jié)果：前者發(fā)展形成了多項(xiàng)式論，到了１９世紀(jì)，還誘發(fā)了抽象代數(shù)的出現(xiàn)；后者的發(fā)展形成了線性代數(shù)，它的中心內(nèi)容是行列式與線性方程組的理論、矩陣的理論及線性空間、線性變換的理論等?！熬€性”一詞，源于解析幾何平面笛卡兒坐標(biāo)系下的一次方程是直線方程，后來(lái)凡是一次的均稱為線性的，這一稱呼今天已深入到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域。簡(jiǎn)介線性代數(shù)有三個(gè)基本計(jì)算單元：向量(組)，矩陣，行列式，研究它們的性質(zhì)和相關(guān)定理，能夠求解線性方程組，實(shí)現(xiàn)行列式與矩陣計(jì)算和線性變換，構(gòu)建向量空間和歐式空間。線性代數(shù)的兩個(gè)基本方

2、法是構(gòu)造（分解）和代數(shù)法，基本思想是化簡(jiǎn)（降解）和同構(gòu)變換。討論代數(shù)史的四個(gè)方向行列式矩陣線性方程組二次型行列式論的興起線性代數(shù)的興起與發(fā)展，是從行列式開(kāi)始的。西方數(shù)學(xué)史家認(rèn)為，首先提出行列式概念的是萊布尼茨。1693年萊布尼茨寫(xiě)給洛必達(dá)的信中提出，三條相異直線a1+b1x+c1y=0a2+b2x+c2y=0a3+b3x+c3y=0共點(diǎn)的必要條件是：a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1=0這被認(rèn)為是行列式的最初起源。行列式論的興起日本數(shù)學(xué)家考證，17、18世紀(jì)的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（1642-1708）在1683年所著《解伏題之法》一書(shū)

3、，實(shí)際上對(duì)于行列式中的概念和它的展開(kāi)，都已有了清楚的敘述，其時(shí)間比萊布尼茨要早。關(guān)孝和以“點(diǎn)竄”術(shù)、“圓理”術(shù)創(chuàng)造了關(guān)派數(shù)學(xué)?！包c(diǎn)竄”術(shù)---它是符號(hào)性的筆算代數(shù)；“圓理”術(shù)---它與現(xiàn)在的微積分的結(jié)果是一樣的。行列式論的發(fā)展1729年，麥克勞林把行列式用于解二元、三元、四元線性方程組，而后發(fā)表在他的遺作《代數(shù)論著》中；1750年，克萊姆在《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》一書(shū)中，給出了用行列式解線性方程組的方法，即人們所稱的克萊姆法則；首先將行列式理論脫離線性方程組而獨(dú)立地進(jìn)行研究的人是范得蒙，他是行列式理論的奠基人，時(shí)間是1772年。1772年，拉普拉斯定理誕生；行列式論的發(fā)展行列式（D

4、eterminants）這一名稱是哥西1812年首先使用的。他還在1815年的一篇文章中首先使用以aij等帶雙重腳標(biāo)來(lái)表示行列式的元素，這篇文章關(guān)于行列式的乘法對(duì)后來(lái)矩陣的運(yùn)算有很大的影響。在行列式理論的形成和發(fā)展過(guò)程中，作了重大貢獻(xiàn)的還有裴蜀、拉哥朗日、高斯、維爾斯特拉斯、西爾維斯特、凱萊。如“正定二次型的充要條件是它的行列式的各階主子式為正”，“加邊行列式的西爾維斯特恒等式”等，都是西爾維斯特創(chuàng)造。行列式論的發(fā)展1841年，雅可比的著名論文《論行列式的形成與性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。在行列式的系統(tǒng)理論形成的同時(shí)，n維空間的概念也在形成，早在18世紀(jì)后半葉，歐拉、拉格

5、朗日和達(dá)朗貝爾都直接提到過(guò)四維和n維空間的概念。1844年、1845年、及1847年格拉斯曼與哥西等分別提出脫離一切直觀空間的純數(shù)學(xué)概念——n維空間。19世紀(jì)中葉以后，抽象代數(shù)的發(fā)展，又促進(jìn)了n維向量空間、線性變換理論與矩陣?yán)碚摰难芯俊Ｐ辛惺秸撛谥袊?guó)的發(fā)展中國(guó)古代沒(méi)有行列式的概念。但古算《九章算術(shù)》解方程組的方法與行列式的運(yùn)算十分相似。直至清代著名數(shù)學(xué)家華蘅芳（1833-1902）翻譯的《算式解法》（1899年出版）第十三卷才出現(xiàn)行列式，當(dāng)時(shí)譯為“定準(zhǔn)數(shù)”矩陣?yán)碚摰呐d起矩陣（Matrix）這個(gè)詞是西爾維斯特在1850年首先使用的，在此之前，1849年凱萊已經(jīng)介紹了可逆方陣對(duì)乘法

6、成群。19世紀(jì)初出現(xiàn)了應(yīng)用初等變換解方程組的著名的高斯消元法。在我國(guó)，這方面的歷史可追溯到《九章算術(shù)》第八章的“方程”，那里所謂“方程”并不是指“Equation”而是指“矩陣”，“方程術(shù)”的中心內(nèi)容就是對(duì)矩陣施行“遍乘”與“直除”兩種運(yùn)算。其實(shí)質(zhì)就是今天的初等變換。例如：《九章算術(shù)》方程章的第一題“今有上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉、中禾三秉、下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉、中禾二秉、下禾三秉，實(shí)二十六斗；問(wèn)上、中、下禾一秉各幾何？”按方程章所述就是先布出“方程”，即是現(xiàn)今的增廣矩陣如下：１　２?。常病。场。玻场。薄。?63439初等變換通過(guò)一系列的“遍乘

7、”與“直除”（即初等變換）化為：3523611992439直至算出結(jié)果。即：111矩陣?yán)碚撛谥袊?guó)的發(fā)展劉徽對(duì)《九章算術(shù)》中的“方程”加以說(shuō)明，“此都術(shù)也，以空言難曉，故特系之以禾以決之。”意思即是：這是一種普遍的方法，由于抽象地說(shuō)難以使人明白，所以聯(lián)系禾的例子來(lái)斷定它?！胺匠绦g(shù)”就是今天線性代數(shù)中的“高斯消元法”。我國(guó)在這方面的數(shù)學(xué)成就要比歐洲早1500年到1800年。后來(lái)，我國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰于1303年刊行的《四元玉鑒》中，也運(yùn)用了矩陣。矩陣?yán)碚撛跉W洲的發(fā)展在歐洲，由于有行列式的成果作為