《信號估值和檢測》習(xí)題

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1、1．令觀測樣本由給出，其中是一高斯白噪聲，其均值為零，方差為1。假定的先驗(yàn)概率密度為試用平方和均勻代價函數(shù)分別求的貝葉斯估計(jì)。解：，且（1）采用平方代價函數(shù)，相應(yīng)貝葉斯估計(jì)為最小均方誤差估計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)其為高斯型的；而為其條件均值，因此可以直接得到（2）采用均方代價函數(shù)，相應(yīng)貝葉斯估計(jì)為最大后驗(yàn)估計(jì)，也即滿足故有所以1．設(shè)觀測到的信號為其中是方差為、均值為零的高斯白噪聲。如果服從瑞利分布，即求的最大后驗(yàn)概率估計(jì)。解：根據(jù)題意，，所以，且所以，解得：因?yàn)樗?．給定，是零均值、方差為1的隨即變量（1）求的最大似然估計(jì)。（2）對下列求最大

2、后驗(yàn)概率估計(jì)解：（1）根據(jù)題意，，所以（2）根據(jù)題意，，，因此2．考慮一個假設(shè)檢驗(yàn)問題，已知1）設(shè)若，試求。2）設(shè)，試建立奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則。解：1）記似然比檢驗(yàn)門限為，似然比檢驗(yàn)判決式為化簡得判決表示式討論：當(dāng)時，判決表示式為即當(dāng)時，判決表示式為即而，所以，判決表示式統(tǒng)一為，，當(dāng)時，似然比檢驗(yàn)門限為檢測門限為這樣，為又當(dāng)時，根據(jù)判決表示式，解得時，判決表示式為，判決假設(shè)成立，判決假設(shè)成立而根據(jù)判決表示式解得時，判決表示式為，判決假設(shè)成立，判決假設(shè)成立這樣，判決表示式為，，又由于都是以縱坐標(biāo)為對稱的函數(shù)，所以2）當(dāng)約束時，采用奈曼-皮

3、爾遜準(zhǔn)則，也分三種情況進(jìn)行討論。一、當(dāng)時，始終判決假設(shè)成立，所以，不滿足約束條件，不存在奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則。二、當(dāng)時，判決域的劃分如題圖（a）所示。如果取，則。這時判決概率滿足約束條件。判決概率三、當(dāng)時，判決域劃分如圖（b）所示。如果取，則。如果取，則隨增大而增加。所以，當(dāng)時，不滿足約束條件，不存在奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則。綜上，當(dāng)約束條件為時，采用奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的，判決域劃分如圖（c）所示。1．設(shè)觀測信號在兩個假設(shè)下的概率密度函數(shù)分別如下圖所示xp(x/H0)p(x/H1)1/310x-1-11201）若似然比檢驗(yàn)門限為，求貝葉斯判決表達(dá)

4、式。2）如果。解：1）假設(shè)H0下觀測信號的概率密度函數(shù)為假設(shè)H1下觀測信號的概率密度函數(shù)為于是，似然比檢驗(yàn)為化簡得判決表示式2）若似然比檢驗(yàn)門限=1，則判決表示式為所以，判決概率為判決概率為