加窗fft在頻譜分析中的應(yīng)用

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1、加窗FFT在頻譜分析中的應(yīng)用1離散傅里葉變換（DFT）1.1DFS1.2DFT對于長度為N的有限長序列，由DFT可重構(gòu)DTFT，1.3FFT提高DFT運(yùn)算效率的途徑：1、利用的性質(zhì)：周期性、可約性、共軛對稱性2、把長序列化解成短序列進(jìn)行計(jì)算，通過迭代運(yùn)算來減少DFT的運(yùn)算量時(shí)間抽取FFT算法簡介如下：1、對時(shí)域n序號(hào)進(jìn)行奇偶分解：將二進(jìn)制表述的數(shù)位碼按高低位碼進(jìn)行倒置得到，以n=8為例：正序：000,001,010,011,100,101,110,111即0,1,2,3,4,5,6,7倒序：000,100,010,

2、110,001,101,011,111即0,4,2,6,1,5,3,72、第一次分解：做二個(gè)N/2點(diǎn)的DFT第二次分解：做四個(gè)N/4點(diǎn)的DFT…….做N/2個(gè)兩點(diǎn)DFT使用迭代算法3、本地即可實(shí)現(xiàn)，不需要額外申請空間。2利用DFT做頻譜分析過程:(1)采樣－－（2）加窗－－（3）DFT（或需補(bǔ)零）－－（4）插值得到連續(xù)頻譜2.1采樣與混疊，，，。防混疊濾波2.2分辨率與頻譜重構(gòu)實(shí)際分析的信號(hào)只能是有限長信號(hào)，必須進(jìn)行加窗處理，從而導(dǎo)致分辨率有限，如同從百合窗中觀察頻譜，只能看到特定頻點(diǎn)的幅頻信息，此時(shí)需要對頻譜進(jìn)行

3、重構(gòu)，從而得到完整頻譜，根據(jù)奈奎斯特采樣率，這種重構(gòu)是可以無失真的實(shí)現(xiàn)的。兩個(gè)余弦函數(shù)和加矩形窗后的頻譜圖2.3泄露與柵欄現(xiàn)象泄漏現(xiàn)象：柵欄現(xiàn)象：2.4窗函數(shù)及加窗窗函數(shù)性能分析如下：3窗函數(shù)選擇與頻譜重構(gòu)3.1窗函數(shù)的一般形式窗函數(shù)的一般功能為截?cái)酂o限長信號(hào)為有限長信號(hào)，但性能較好的窗函數(shù)還應(yīng)當(dāng)有良好的頻域特征，但由于測不準(zhǔn)原理，窗函數(shù)時(shí)域受限的同時(shí)不可能在頻域上得到單頻點(diǎn)脈沖，必定也是頻譜受限信號(hào)，由于余弦函數(shù)良好的頻域特征，一般情況下，我們基于余弦函數(shù)構(gòu)造需要的窗函數(shù)。從復(fù)雜度出發(fā)，我們只考慮三階以內(nèi)的窗函數(shù)

4、。3.2加窗DFT的重構(gòu)算法3.2.1相關(guān)理論計(jì)算假設(shè)單頻信號(hào)頻點(diǎn)為f0，對應(yīng)頻域上的位置為，若為整數(shù)，則FFT的結(jié)果中包含所需的頻點(diǎn)信息，可以直接讀取。若不是整數(shù)，則需要采用插值重構(gòu)算法才能得到所需的頻譜信息。取附近兩點(diǎn)k和k+1的FFT結(jié)果X(k)和X(k+1)，有3.2.2參數(shù)選擇原則1、簡化插值重構(gòu)算法原則為簡化插值重構(gòu)過程，我們令上式中高次項(xiàng)系數(shù)均為0，得到三階窗函數(shù)參數(shù)選擇公式如下：2、旁瓣最快衰減原則旁瓣衰減速度由窗函數(shù)的光滑程度有關(guān)，對窗函數(shù)求導(dǎo)，由窗函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，可以得到該窗函數(shù)的最大可導(dǎo)階次

5、，此時(shí)，窗函數(shù)參數(shù)滿足我們的計(jì)算過程顯示，最大旁瓣衰減速度的余弦窗函數(shù)正是我們需要的具有最簡插值重構(gòu)算法的余弦窗函數(shù)，因此，從理論上講，上述計(jì)算得到的窗函數(shù)是所有三階窗函數(shù)中旁瓣衰減最快的。繼續(xù)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，更高階窗函數(shù)同樣能夠同時(shí)滿足以上兩個(gè)原則。3、窗函數(shù)階數(shù)選擇原則窗函數(shù)階數(shù)越高，旁瓣衰減越快，但同時(shí)主瓣寬度越寬，對于FFT來講，可能淹沒高次諧波，因此，選取窗函數(shù)時(shí)階數(shù)要適中。3.2.3三階窗函數(shù)原則上采用數(shù)值分析算法，任意的窗函數(shù)都可以計(jì)算出頻偏，進(jìn)而求出幅度信息，但為了算法實(shí)現(xiàn)的方便，我們定義自己的窗函數(shù)滿足

6、以下條件：此時(shí)，DFT重構(gòu)算法設(shè)計(jì)如下：FFT的結(jié)果是對連續(xù)頻譜進(jìn)行采樣，因此需要合理設(shè)計(jì)頻率分辨力，從而得到窗函數(shù)的完整頻譜。由于三階窗函數(shù)的主瓣寬度為4個(gè)頻率分辨單位，旁瓣寬度均為1個(gè)頻率分辨單位，因此Matlab仿真時(shí)取采樣率為2048，計(jì)算點(diǎn)數(shù)為4096時(shí)，可準(zhǔn)確顯示出旁瓣電平。Matlab仿真得到窗函數(shù)形狀如下：由上圖可知，該三階窗主瓣寬度為4個(gè)分辨單位，對于50Hz的電網(wǎng)基波來講，當(dāng)分辨率為12.5Hz時(shí)，該窗函數(shù)剛好可以保證各次諧波之間不產(chǎn)生混疊；最大旁瓣為-62.8dB。3.2.4二階窗函數(shù)對二階窗

7、的情況有此時(shí)，DFT重構(gòu)算法設(shè)計(jì)如下：Matlab仿真得到窗函數(shù)形狀如下：Matlab仿真blackman窗函數(shù)形狀如下：比較兩圖可知，blackman窗函數(shù)在對第一旁瓣的抑制能力上，要比我們設(shè)計(jì)的二階窗函數(shù)優(yōu)異，但從第二旁瓣開始，我們設(shè)計(jì)的二階窗函數(shù)快速衰減，遠(yuǎn)比blackman窗函數(shù)性能更好，仿真也驗(yàn)證了該窗函數(shù)的最快旁瓣衰減特性。而且從重構(gòu)算法的實(shí)現(xiàn)策略上，我們設(shè)計(jì)的二階窗函數(shù)更為簡單實(shí)用。3.2.5一階窗函數(shù)對一階窗的情況有此時(shí)，DFT重構(gòu)算法設(shè)計(jì)如下：Matlab仿真得到窗函數(shù)形狀如下：從結(jié)果上來看，一階

8、窗函數(shù)中，旁瓣衰減最快的正是hanning窗3.2.6更高階窗函數(shù)對于更高階的窗函數(shù)，其旁瓣衰減更快，但主瓣寬度更寬，對于諧波分析而言，可能會(huì)導(dǎo)致基波被拉伸而淹沒高次諧波，因此并不適用，此處只作簡要計(jì)算分析（以5階為例）。此時(shí)，DFT重構(gòu)算法設(shè)計(jì)如下：Matlab仿真得到窗函數(shù)形狀如下：從性能上來講，高階窗函數(shù)第一旁瓣更低，而且旁瓣衰減也更快，但主瓣寬度多達(dá)